t'ber die zahlentheoretischen Formehi Liouville's. 211 



Wenn es deren im ganzen Z-^ gibt, so ist dann 



Im Falle der Formen (8) ist aber 



w = (.-1 + B) (A — j5) = A^ — B' 

 und da beide Faktoren positiv sind, darf man setzen 



A + B = d\. j .. 



wo (l und d alle konjugierten Teiler von // zu durchlaufen haben. 



Es wird 2 A = d -\- Ö 



2B^d — d, 



und wegen < 2 B < A 



unterliegen d und d der Beschränkung 



Ö<^<3Ö. (10) 



Im Falle der Formen (9) ist 



n = B{2C—B), 



und da wieder beide Faktoren grösser als null sind, darf 



B = ö 



2C-B = d]^'=^''^'^^ 



gesetzt werden. 



Die Bedingung A< C geht dann über in 



3 Ö < d, (10'^ 



und die Anzahl der Formen (9) ist der Zahl der diese Ungleichung 

 befriedigenden Lösungen von 



// = fZ-d . (11) 



gleich. 



Nun kann wegen (1) der Fall 



d = -dd 



nicht eintreten. Jeder Teiler d von h erfüllt daher eine der Be- 

 dingungen 



fZ < 3 ö fZ > 3 ö 



und liefert daher eine Lösung (10) oder (10'), ausser wenn 



d<d 

 sein sollte. 



