über die zahlentheoretischen Formehi Liouville's. 2\3 



2 m = m-^ + f/2 Ö2 + 2"^ + ^ • d^ • d^ (15) 



.zu summieren. 



Nun kann die linke Seite der Gleichung (12) nach einer aus der 

 Formel (V d) pg. 54 deduzierbaren Gleichung vereinfacht werden. 

 Man setze in (V d) statt / {x, y) eine gerade Funktion / {y) des 

 zweiten Arguments. So ergibt sich mit der dortigen Bezeichnung: 



2^{/(öi+Ö2)-/(ö, -0^)} = 



M = rfl dl + 2«-2 (72 Ö2 (16) 



=- 2 {/(O) + 2/(2) + 2/(4) + . -f- 2/(ö - 1)} -^ ^ -/(O). 



II — d-d II = d-f) 



Nun beachte man, dass auf der linken Seite S der Gleichung (12) 

 jeweilen die Glieder, die zu entgegengesetzt gleichen Werten von m' 

 gehören, zusammengefasst werden können, und dass 



/(.r + 7)1') -\-f{x — m') 

 und im Falle in' = 



/ (^ + 0) 

 ^ine gerade Funktion von x ist. Man erhält so eine Summe S, die 

 gleich gebaut ist, wie diejenige der linken Seite von (16), und sich 

 :auf dieselbe Zerlegungsart (14) bezieht. Nach (16) wird also 



m' 



— ^ (/(2 m') + 2/ (2 m' + 2) H h 2/(2m'+f/*-l))} 



wo (l^ alle Teiler der Zahl (m — 2 w'"^) zu durchlaufen hat, und wo 

 das vor die geschwungene Klammer gesetzte Summenzeichen andeutet, 

 'dass m' der Reihe nach alle Zahlen zu durchlaufen hat, für die 



m — 2 m'^ 

 positiv ausfällt. 



Jetzt definieren wir 



/ (a?) = wenn ^r =j= | 

 / {x) = 1 wenn x = \ 



Dann werden in der Summe (14) auf der rechten Seite R alle Glieder 

 von der Form 



/ (A±i + ,^3) 



ZU null. Dasselbe geschieht mit denjenigen Gliedern 



/(^ - rfs) 

 für welche 



(^2 + 0.3 4= 2 ^3 • 



