214 Ernst Meissner. 



während so oft die Zahl 1 auftritt, als Lösungen von (15) existieren^ 

 für welche 



wird. Dieselben sind aber mit den Lösungen von 



2 m — m; = cl ■ d, + 2'^^ ö, (d^ + §2) (17) 



identisch, und da 



2 m — ml = 1 (mod 4) 



ist, so stimmt diese letztere Gleichung mit der Gleichung (2) des 

 anfangs bewiesenen Hülfssatzes überein. Die Summe R in (12) wird 

 sonach gleich der Anzahl der Lösungen von (17), oder nach (3) gleich 



2F(2 m - ml ) - I ^ e (2 m - m; ) - 1 ^ « (2 m - nir). 



Uli " '"i "^ "'1 



Hiebei ist über alle positiven ungeraden Werte von m^, für die 



2 ni — Dil > 



ist, zu summieren. Aber 



^ CO (2 m — ml ) 

 »'1 



gibt an, wie oft 2 m als Summe zweier Quadrate darstellbar ist, und 



nach bekannten Sätzen ist 



^ « (2 m - ml) =2 (- ^)^ = Q ("0- 

 Daher wird 



R =2 F (2 m - ;«;) - 1 ^' t (2 r>. - m?) - \ q {m). (18) 



Nun ist die Definition (a) auch im Ausdruck aS der linken Seite 

 von (14) einzuführen und nachher 



S=R 

 zu setzen. Die Summe 



^/(2«0-^'^^* 



m' 



wird nur für m' = ein von null verschiedenes Glied erzeugen, und 

 zwar hat jenes den Ausdruck : 



^d = i, (m), (19) 



m = ä- ö 



da die Teiler d^ in die Teiler d von m übergehen. 

 Das erste Glied / (2 m') in der Summe 



S, = 2\2{f{^ »^') + 2/(2 m' + 2) + • . + 2/(2 m'^ + ^*- 1)) l 

 wird nur für m' = zu 1, und zwar tritt es dann so oft auf, als 



