über die zahlentheoretischen Fonnehi Lionville's. 215 



Teiler d'^ ^= d von in existieren; es liefert sonach an Si den Beitrag 



^ ("0- (19') 



Die Argumente 



2 m' + 2, 2 m' -f- 4, 2 m' -\- d* ~ 1 



der übrigen Glieder in Sy sind alle positiv, wenn m' > 0, alle negativ, 

 wenn 2 m' -}- d* <0 ist, und in beiden Fällen verschwindet die ganze 

 geschweifte Klammer. Ist aber 



2m' + f^*>0, m'<0, 



so ist immer eines, und nur eines der Argumente gleich null, und 

 die Klammer hat jeweilen den Wert 2. Es wird demnach 



S, = 2.L('"''+:i'>'>) + ti.n) (19") 



WO L die Anzahl der Lösungen der Gleichung 



m = 2 ni'" -(- fZ* ö* 



mit den beigesetzten Bedingungen bedeutet. Damit geht aber der 

 Ausdruck für S über in 



& = ^t,{m)-L[ ^.^^ j-^ei^>0- (20) 



Wir vereinfachen weiter, indem wir den auf pag. 39 in § 5 ab- 

 geleiteten Hülfssatz verwenden, wonach 



L (2 m' + fi* > 0) — Z {2 m' + tZ* < 0) = ^ , (21) 



und Lj die Anzahl der Lösungen von 



2 m = »?j -L- do (^2 

 in ungeraden positiven Zahlen bezeichnet. Nun ist aber wegen 



2 ))i — uq = d.2 • ^2 

 offenbar A = ^ ^ ('^ ''* — '"i)- 



Dil 



Ferner ergibt sich sofort die Relation: 



L (2 „.+ d» > 0^ = i c^ «;;^*, > «) + L (- «;;^;> ») + 1 (»o 



und wenn man dies in [2\) einsetzt, folgt die neue Gleichung 

 i C "':^<^ ") =^ S (2 «< - m;) + L (2 ,«■ + rf« < 0) - 



'«1 



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