über die mehrfachen Sekanten algebraischer Raumkurven. 2G7 



Die zu betrachtenden algebraischen Raumkurven sollen keine 

 besonderen Singularitäten haben, keine stationären Punkte und keine 

 wirklichen Doppclpunkte. Wir haben es also nur mit den folgenden 

 fünf Singularitäten zu tun : Ordnungszahl ni, Rang r (Klasse des pro- 

 jizierenden Kegels), Anzahl Jt der scheinbaren Doppelpunkte, Klasse n 

 (Anzahl der Inflexionstangentialebenen des proj. Kegels), Anzahl // der 

 Doppeltangentialebenen des proj. Kegels. Der Charakter der Kurve 

 ist dann durch zwei dieser Singularitäten bestimmt; wir wählen dazu 

 die Zahlen m und r. Die andern Zahlen werden durch sie ausgedrückt 

 nach den Cayley-Plückerschen Formeln: 



(1) r = m {m —l) — 2h 



(2) m = r (r — 1) — 2 ?/ — 3 w 



(3) n = 3 (r — m). 



Mit Benützung von 3. kann 2. ersetzt werden durch: 

 (2a) 2?/ = 8m — 10 r + r^. 



Übrigens werden sich diese Formeln im Folgenden nebenbei 

 ergeben.^) 



Wir benützen zur Bezeichnung von Regelflächen und gleich- 

 zeitig ihrer Ordnungszahl den Buchstaben R mit beigefügten Sym- 

 bolen, ebenso zur Bezeichnung bestimmter Geraden und gleichzeitig 

 ihrer Anzahl den Buchstaben G mit Symbolen. — Indem wir mit 

 der einfachsten Aufgabe über Doppelsekanten beginnen, schreiten wir 

 systematisch weiter zu den komplizierteren Aufgaben. 



n. Anzahl G (P, 6^) oder h der Doppelsekanten einer 

 Raumkurve, welche durch einen beliebigen Punkt P gehen. 

 Wir transformieren d infinitesimal nach einem beliebigen Punkt hin. 

 Dann werden wir die gesuchten Doppelsekanten erhalten, indem wir 

 die Geraden durch P betrachten, welche S und die transformierte 

 Kurve (i' je einmal schneiden. Aber es kommen nur diejenigen dieser 

 gemeinschaftlichen Sekanten in Betracht, für welche der Punkt auf ß 

 von dem Punkt auf ^ einen endlichen Abstand hat. Je zwei solche 

 Gerade sind zu einer der gesuchten Doppelsekanten von (5 unendlich 

 benachbart, weil die beiden Schnittpunkte einer solchen Doppelsekante 

 mit S auf zwei Arten auf die beiden Kurven 6, 6' verteilt werden 

 können. 



Durch jede der gesuchten Doppelsekanten gehen zwei Mäntel 

 des Kegels P(5 und der eine Schnittpunkt der Doppelsekante mit S 

 ist unendlich benachbart zu einem Schnittpunkt von ß' mit dem 



^) Vergl. meine Aufsätze in Math. Annalen Bd. 14 und Vierleljalirssclirin der 

 naturf. Gesellschaft in Zürich, Bd. 38 und TA. 



