über die mehrfachen Sekanten algebraischer Ranmknrven. 269 



liegt also auf der Tangentialebene dieses Kegels längs OP. Es gibt 

 also so viele Punkte .4, als es Schnittpunkte dieser Tangentialebene 

 mit © gibt, die von P verschieden sind. Die abzuziehende Zahl ist 

 also = m — 2. 



3. Diejenigen Schnittpunkte, welche auf der betreffenden Erzeu- 

 genden des Kegels P6 unendlich benachbart sind zu dem Punkt auf 6, 

 durch welchen die Erzeugende ausser dem Punkt P geht. Da G und (£' 

 auf dem Kegel 06 liegen, so ist jene Erzeugende eine Tangente 

 dieses Kegels, deren Berührungspunkt nicht in P liegt. Die Anzahl 

 solcher Tangenten ist offenbar = >• — 2. Wir haben also: 



2 /<* = m {m — 1) — m — (m — 2) - (r —2) 

 (4 a) = (m — 1) {m — 2) — r + 2. 



Natürlich hätte sich diese Formel aus (4) ableiten lassen, indem 

 man ni und /■ durch m — 1 und r — 2 ersetzte. 



III. Ordnungszahl R (^, 6^..) der Regelfläche, deren Er- 

 zeugende eine Gerade g und eine Kurve 6 schneiden und in 

 dem letztern Punkt einen projizierenden Kegel von 6 be- 

 rühren. Eine beliebige Ebene durch [/ enthält offenbar i)i Er- 

 zeugende der Regelfläche und die Gerade g selbst ist auf der Fläche 

 von der Vielfachheit r, weil durch einen beliebigen Punkt von g 

 r Erzeugende der Regelfläche gelegt werden können. Also ist: 



(6) Eig,&,) = m^r. 



Weil alle Erzeugenden der Regelfläche den Kegel in Punkten von 

 6 berühren, so berühren sich die beiden Flächen längs der Kurve 6. 

 Der Kegel und die Regelfläche haben gemeinschaftliche Erzeugende, 

 nämlich diejenigen Erzeugenden des Kegels, welche durch die m Schnitt- 

 punkte von g mit dem Kegel gehen, und zwar berühren sich die beiden 

 Flächen längs jeder dieser Erzeugenden. Dies erkennt man, indem 

 man einen Punkt G die Gerade g durchlaufen lässt. Von den r Er- 

 zeugenden der Regelfläche, die durch jeden Punkt G gehen, werden 

 zwei unendlich benachbart, wenn G unendlich nahe an die Kegelfläche 

 rückt. Die Ebene dieser beiden Erzeugenden ist Tangentialebene der 

 Regelfläche in jedem Punkt der Erzeugenden und gleichzeitig Tangen- 

 tialebene des Kegels. Wenn auf dem Kegel irgend eine Kurve liegt, 

 so berührt dieselbe also die Regelfläche in allen den Punkten, in 

 denen sie die Kurve 6 oder eine jener ni Erzeugenden schneidet, die 

 dem Kegel und der Regelfläche gemeinsam sind. 



IV. Ordnungszahl E {g, (i'-) der Regelfläche, deren Er- 

 zeugende eine Gerade ^ treffen und eine Raumkurve zweimal 



schneiden. In jeder Ebene durch g liegen v '»* ("^ — 1) Erzeugende 



