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und g ist auf der Fläche von der Vielfachheit h, weil durch jeden 

 Punkt von g h Doppelsekanten von 6 gehen. Also haben wir: 



(7) E(g,(i,') = \mim-l)-^h. 



Wir können aber eine zweite Bestimmung dieser Ordnungszahl 

 erhalten, indem wir 6 infinitesimal transformieren nach einem be- 

 liebigen Punkt hin. Die Regelfläche mit den drei Leitlinien g, ^, 6' 

 hat die Ordnungszahl 



B(g, 6, 6') = 2^2- m. 



Indem die Kollineation infinitesimal wird, löst sich aber von 

 dieser Regelfläche ein Teil ab, dessen Erzeugende 6 und 6' in zwei 

 unendlich benachbarten Punkten treffen. Der übrig bleibende Teil 

 ist die gesuchte Regelfläche B (g, ®^) und zwar zweimal, weil jede 

 Erzeugende von B {g, 6") zu zwei Erzeugenden von B {g, 6, 6') un- 

 endlich benachbart ist. — Der abgelöste Teil von B (g, (^, 6') ist die 

 in III. betrachtete Regelfläche B (g, 6^), einfach gerechnet. Wir 

 erhalten also : 



2 B (g, 62) = 2 »i^ — m — (m + r), 



(8) B (g, ©2) = m (m — 1) — | r. 



Durch Vergleichung von (7) und (8) ergibt sich noch einmal die 

 Formel (1). — Auf der Fläche B {g, 6'-) ist 6 von der Vielfachheit m — 1. 



V. Ordnungszahl B (ß,, 6^) der Regelfläche, deren Er- 

 zeugende die Kurve 6 zweimal treffen und in einem der 

 beiden Punkte einen projizierenden Kegel von ß berühren. 

 Wir gehen aus von der Regelfläche B (g, (^k) [HL] und suchen die 

 Erzeugenden derselben, welche 6 zweimal schneiden. Dazu machen 

 wir eine infinitesimale Transformation von (S nach dem Punkt P hin, 

 der die Spitze jenes projizierenden Kegels ist. Q! schneidet die Regel- 

 fläche in m (m -h r) Punkten. Von diesen kommen aber nur diejenigen 

 in Betracht, welche auf der betreffenden Erzeugenden der Regelfläche 

 endlich getrennt sind von dem Punkt von 6, in welchem die Erzeu- 

 gende den Kegel berührt. Von den Schnittpunkten von 6' mit der 

 Regelfläche sind also nach III. abzurechnen : 



1. Die m Schnittpunkte von 6 und 6' auf der Kollineationsebene 

 und zwar jeder doppelt, weil 6' die Regelfläche in diesen Punkten 

 berührt (IIL). 



2. Die m Schnittpunkte von C mit den m Erzeugenden, die dem 

 Kegel und der Regelfläche gemeinsam sind, und zwar jeder doppelt 

 aus demselben Grunde. 



3. Die übrigen Schnittpunkte, welche auf der betreffenden Er- 

 zeugenden unendlich benachbart sind zu dem Punkt auf 6^, in welchem 



