über die mehrfachen Sekanten algebraischer Raumkurven. 271 



die Erzeugende den Kegel berührt. Diese Erzeugenden liegen offenbar 

 in den n Inflexionstangentialebenen des Kegels, eine in jeder Ebene. 

 Auf diese Weise erhalten wir die Anzahl O (g, ß, (S^), welche 

 identisch ist mit R (6^, 6/,). Es wird: 



(9) R (e, 6.) = m (m + r — 4) — w. 



Nun kann man aber diese Ordnungszahl noch auf anderem, 

 kürzerem Wege bestimmen, nämlich dadurch, dass man durch den 

 Scheitel P des Kegels eine beliebige Gerade p legt und abzählt, wie 

 viele Erzeugende der gesuchten Regelfläche diese Gerade schneiden. 

 Zunächst gehen durch die Gerade r Tangentialebenen an den Kegel 

 und jede derselben enthält ni — 2 Erzeugende der Regelfläche. Ausser- 

 dem aber gehen durch den Kegelscheitel P selbst Erzeugende der 

 Regelfläche von besonderer Art, nämlich die Ji Doppelsekanten von 6, 

 und zwar ist jede zweimal zu rechnen, denn jede ist auf zwei Arten als 

 eine Gerade zu betrachten, welche jj trifft, ß zweimal schneidet und in 

 der Kegeltangentialebene des einen Schnittpunktes liegt. Man hat also: 



R (g, g.) = r {m - 2) + 2 h, 

 oder, wenn man für h seinen Wert aus (4) einsetzt: 



(10) R (6, e.) = m (m — 1) + r (;m - 3). 

 Durch Vergleichung von (9) und (10) erhält man: 



9i = 3 (r — m), 



wodurch Formel (3) bewiesen ist. 



In bezug auf die Regelfläche R (6, 6/,) sind noch die folgenden 

 Bemerkungen zu machen : Durch jeden Punkt C von 6 gehen zweierlei 

 Erzeugende: a) solche, welche in C den Kegel berühren, b) solche, 

 welche ihn nicht in C, sondern in dem andern Schnittpunkt mit 6 

 berühren. Die Anzahl der Erzeugenden a) ist offenbar = m — 2, die- 

 jenige der Erzeugenden b) := r— 2. Die Erzeugenden a) liegen alle 

 in derselben Ebene, nämlich in der Tangentialebene des Kegels. Lassen 

 wir den Punkt C die ganze Kurve ® durchlaufen, so sehen wir, dass 

 m — 2 Mäntel der Regelfläche den Kegel längs ® berühren, während 

 andere r ■ — 2 Mäntel ihn längs 6 schneiden. Ferner ist schon be- 

 merkt worden, dass die Doppelerzeugenden des Kegels auch Doppel- 

 erzeugende der Regelfläche sind. Für jede solche Doppelerzeugende 

 sind die beiden Tangentialebenen des Kegels auch Tangentialebenen 

 der Regelfläche längs der ganzen Erzeugenden. Man erkennt dies 

 wieder, wenn man einen Punkt C die Kurve 6 durchlaufen lässt und 

 die r — 2 Erzeugenden der Regelfläche betrachtet, welche durch ihn 

 gehen und den Kegel anderswo berühren. Rückt C unendlich nahe 

 an eine Doppelerzeugende des Kegels, so werden von den r — 2 Er- 



