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Punkte, in denen jene Gerade ß schneidet, aber den Kegel nicht be- 

 rührt, auf zwei Arten auf 6 und 6' verteilt werden können. — Von 

 den Schnittpunkten von 6' mit E (6, 6^) sind aber die folgenden ab- 

 zurechnen, welche nicht der Aufgabe genügen: 



1. Die m Schnittpunkte von 6 und ß' auf der Kollineationsebene, 

 deren jeder nach V. die Vielfacliheit 2 {m — 2) + r — 2 hat. 



2. Die Schnittpunkte, welche auf den gemeinschaftlichen Doppel- 

 erzeugenden des Kegels und der Eegelfläche liegen, 6' schneidet jede 

 dieser Doj)pelerzeugenden in zwei getrennten Punkten, deren jeder 

 dreifach zu rechnen ist, weil 6' in dem einen dieser Punkte den einen, 

 in dem andern den andern der beiden Mäntel der Regelfläche berührt, 

 welche durch diese Doppelerzeugenden gehen (V.). Die abzuziehende 

 Zahl beträgt also 6 li oder 3 ni (in — 1) — 3 r (1.). 



3. Diejenigen übrigen Schnittpunkte, welche auf der betreffenden 

 Erzeugenden der Regelfläche unendlich benachbart sind zu dem Punkte, 

 in welchem die Erzeugende den Kegel berührt. Dies führt offenbar 

 auf die n Inflexionstangentialebenen des Kegels, w^elche Schmiegungs- 

 ebenen von 6 sind. In jeder derselben liegen m — 3 Erzeugenden der 

 fraglichen Art. Die abzuziehende Zahl beträgt also {m — 3) n oder 

 3 {m — 3) (r — m). 



4. Diejenigen Schnittpunkte, welche auf der betreffenden Er- 

 zeugenden der Regelfläche unendlich benachbart sind zu dem Punkt, 

 in welchem die Erzeugende die Kurve 6 schneidet, ohne den Kegel 

 zu berühren. Dies führt auf die y Doppeltangentialebenen des Kegels. 

 In jeder derselben liegt eine Erzeugende, welche doppelt zu rechnen 

 ist, da der eine oder der andere der beiden Berührungspunkte zu S' 

 gerechnet werden kann. Die abzuziehende Zahl beträgt also 2 y oder 

 8 w— 10r-4->". (2a.) 



Auf Grund dieser Abzahlung ergibt sich das Resultat: 



2 G (6, 6, 6.) = m- (m — 1) + mr (m — 3) — 2 <v« {m — 2) — m (r - 2) 

 — 3m (m — 1)+3 r — 3 (»i — 3) {r — m) — Sm-f-lO r — r^. 

 (13) G (6, 6, 6,) =\m (»r-3 m — 8) + \y {m- — 7 »i + 22 — r). 



IX. Anzahl G (6^) der vierfachen Sekanten einer Raum- 

 kurve. Wir gehen aus von der Fläche U (6^) (VI.) und trans- 

 formieren ^ infinitesimal nach einem beliebigen Zentrum hin. Dann 

 sind die gesuchten vierfachen Sekanten unter denjenigen Erzeugenden 

 enthalten, welche 6' schneiden und zwar erscheint jede vierfache 

 Sekante viermal, da jeder ihrer vier Punkte auf 6 zu 6' gerechnet 

 werden kann. Von den Schnittpunkten von 6' mit R (6^) sind die 

 folgenden abzurechnen : 



