4G Hemming, Transformation der projectivischen Coordinaten. 



Etwas einfacher gestaltet sich die Untersuchung, wenn 

 wir statt einer beliebigen Geraden / die unendlich ferne 

 Gerade und statt eines beliebigen Punktes B einen unend- 

 lich fernen Punkt zu Hülfe nehmen. Wie bei Untersuchun- 

 gen in der Geometrie der Lage überhaupt mag es aber 

 auch hier am Platze sein, die Lösung der Aufgabe in all- 

 gemeinster Weise durchzuführen. 



II. Transformation für den Raum. 



a. Der leitende Gedanke für die Entwicklung ist der- 

 selbe. Um den Uebergang von den Coordinaten x^^x<^^x^^x^ 

 eines Punktes /^zu den neuen x^^x.^^x->,^x[ zu bewerkstelli- 

 gen, legen wir durch den Punkt /* und die Schnittlinien 

 5i , ^2 , 6'3 , ^4 der Hülfsebene L mit den Seitenebenen 

 A^^A^^A^^A^ des alten Fundamentaltetraeders die Ebenen 

 /^i, Pg? ^3' ^4 ^^^ stellen die Gleichungen der letztern auf: 



( A'i X\ -f- A2 Xo -4- A3 J?3 + A.1 X^ - ^i = «il X\ -t- «^2 ^2 -f- «i3 ^3 + 



-f-«uiP4 [*= 1, 2, 3,4], 

 worin -p den Abstand des Punktes P von der Ebene L 

 (oder allgemeiner die Länge einer beliebigen Geraden zwi- 

 schen /* und L) bedeutet. Aehnlich wie oben ergeben sich 

 hieraus unsere Transformationsformeln: 



|a?i=«ua?l+«i2a?2 + al3^3+«14^4=«ll''^l+a21^2H- «31^3+041^4 



yx.^ =a2i^i+«22a:i+a.23a?3+«24ici=ai2a?l+a22iC2+a32^3+«42^4 



' ]^3 = «31^1 + «i2^2+«33a?3H- «34^:1 = ai3iC;+a23a?;+a33^3+a43^4 



'a?4 =^ «41^:1+ a42X2+al3a?3+a44a?i=ai4a?l-f-a24^2+«34^3+«44^4 

 Die Zeilen dei; Substitutionscoeffizienten repräsentiren die 

 neuen Coordinaten der Seitenebenen des alten Fundamen- 

 taltetraeders, die Keihen die alten Coordinaten der Ecken 

 des neuen. 



6. Bei der Transformation der Coordinaten einer Ebene 

 P nehmen wir einen beliebigen Punkt Sß zu Hülfe. Die 



