Aiustein, Abbildung der Oberfläche eines regulären Oetaeders. 325 



Punkten Aebnliehkeit in den kleinsten Theilen stattfindet 

 und auch in diesen Ausnahmepunkten die Stetigkeit der 

 Abbildung nicht unterbrochen wird. Bei näherer Betrach- 

 tung ergibt sich auch, dass der Zusammenhang zwischen 

 solchen Flächentheilen, deren unmittelbarer Zusammenhang 

 durch die frühere Zerschneidung aufgehoben wurde, in 

 entsprechenden Punkten wieder hergestellt wird. 



Jetzt handelt es sich noch darum, die erhaltene Func- 

 tion umzukehren, um auch umgekehrt, wie die Aufgabe 

 es verlangt, zu jedem gegebenen Punkte der Octaeder- 

 oberfläche den entsprechenden Punkt der Kugeloberfläche 

 zu finden. Zu diesem Zwecke setzen wir die Betrachtung 

 der Function ii noch etwas weiter fort, indem wir von nun 

 an niclit mehr blos einen einzigen Zweig von w verfolgen, 

 sondern die Function in ihrer Allgemeinheit in den Kreis 

 unserer Untersuchung ziehen. 



Alle Werthe, die u auf verschiedenen Integrations- 

 wegen überhaupt erlangen kann, werden aus einem der- 

 selben durch Abwicklung der Octaederoberfläche in der 

 Ebene U erhalten. Man kann nun gewissermassen auf 

 experimentellem Wege hinsichtlich der gegenseitigen Ab- 

 hängigkeit der beiden veränderlichen Grössen u und x bei 

 unbeschränkter Veränderlichkeit derselben eine vorläufige 

 Untersuchung anstellen, indem man ein materielles regu- 

 läres Octaeder wiederholt auf einer ebenen Zeichnungs- 

 fläche (der Ebene U) abrollt, die in ein System von gleich- 

 seiligen, den Seitenflächen des Oetaeders congruenten Drei- 

 ecken eingetheilt ist. (Vergleiche Monatsberichte der Königl. 

 Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1865, pag. 15U.) 

 Die hierbei sich ergebende Anordnung derjenigen Punkte 

 der Ebene, mit welchen derselbe Punkt der Octaederober- 

 fläche zusammenfallen kann, zeigt eine duutliche Periodic!- 



