326 Amstein, Abbildung der Oberfläche eines regulären Octaeders, 



tat (Fig. 5); diess führt zu dem Schlüsse, dass x eine 

 doppelt periodische Function von u sein wird. Für die 

 Wahl der Periodenparallelogramme, welche durch die längern 

 Diagonalen der durch je zwei aufeinanderfolgende gleich- 

 seitige Dreiecke in der Ebene U entstehenden Parallelo- 

 gramme gebildet werden, sind mehrere Möglichkeiten vor- 

 handen. Wir halten für die weitere Untersuchung die in 

 Fig. 5 getroffene Anordnung fest. Aus dem Umstände, 

 dass während der Operation des Abwickeins ein und das- 

 selbe Dreieck der Zeichnungsfläche nur von vier verschiedenen 

 Octaederflächen bedeckt werden kann, schliessen wir, dass 

 X eine vierdeutige Function von u sein wird; umgekehrt 

 wird, von Perioden abgesehen, die Grösse u eine dreideutige 

 Function von x sein, da einem und demselben Punkte der 

 Octaederoberfläche drei im Allgemeinen von einander ver- 

 schiedene Punkte u innerhalb eines Periodenparallelogram- 

 mes entsprechen. 



Hiernach ist der in der folgenden Untersuchung ein- 

 zuschlagende Weg vorgezeichnet. Führen wir nämlich eine 

 eindeutige, doppelt periodische Function von u ein, welche 

 dieselben Perioden besitzt, wie die Function x, so muss 

 zwischen dieser und der Grösse x eine algebraische Glei- 

 chung bestehen. Vermittelst dieser algebraischen Gleichung 

 wird es gelingen, das bisher betrachtete Integral in eine 

 der gebräuchlichen Normalformen der elliptischen Integrale 

 erster Art zu transformiren. 



Es sei X = f{u). 



Einem bestimmten Werthe u = u^ entsprechen vier Werthe 

 von X, welche mit x^^ x^^ x^, x^ bezeichnet werden mögen. 

 Einem Punkte der Ebene TJ entsprechen demnach auch vier 

 Punkte der Kugeloberfläche, deren gegenseitige Lage leicht 

 zu erkennen ist. Bildet man die Kugeloberfläche wieder 



