328 Arastein, Abbildung der Oberfläche eines regulären Octaeders. 



Hiemit wären also durch analytische Eechnungen die 

 Vermuthungen, welche zunächst aus geometrischen Bezie- 

 hungen sich darboten, bestätigt. 



Vorerst beschäftigen wir uns mit der Darstellung der 

 eindeutigen, doppelt periodischen Function r. 



Es ist r = x^ K ' Diese Function wird unendlich 



gross für ^ = und x = od und gleich Null für die 

 vier Werthe x = ^l und x = :^i. Es fragt sieb nun, 

 von welcher Ordnung r unendlich gross und gleich Null 

 wird, wenn wir r nicht als Function von x, sondern als 

 Function von u betrachten, x also durch ti ausdrücken oder 



mit andern Worten das Integral -^ umkehren. 



J fx{l -j-x^) 



Dass dieses Integral auch bei unbeschränkter Variabilität 

 von X sich umkehren lässt , geht aus der obigen Trans- 

 formation, durch welche dasselbe in ein elliptisches Inte- 

 gral erster Art übergeführt wurde, hervor. Um das 

 Verhalten dieser Function in den den Punkten x = 0, 

 ic=oo, X = ^\, X = -jz^ entsprechenden Punkten u 

 kennen zu lernen, entwickeln wir r in den Umgebungen 

 dieser Punkte. 



1. Entwicklung für die Umgebung des Punktes 



^ = 0. 



Dem Punkte x=0 entspricht der Punkt u = 0. Nun 

 hatten wir die Entwicklung : 



» = |/[i-i-^+w-^- ] 



Daraus folgt, wenn wir die Entwicklung auf die ersten 

 Glieder beschränken, was für den gegenwärtigen Zweck 

 hinreicht : 



