Keller, conjugirte Elemente in reeiproken Systemen. 3 



letzteren luid a\ die Verbindungsgerade der ersteren, so 

 erkennt man, dass die Elemente des Dreieckes A^ Ä.^ Ä^ 

 solche sind, die sich reciprok involutorisch entsprechen, 

 d. h.: zählt man die Punkte Äi^A2^Ä^ zur gestrichenen 

 oder zur ungestrichenen Ebene, in beiderlei Sinn ent- 

 sprechen ihnen resp. die Geraden a\^ «'2, «'3 und um- 

 gekehrt; eine einfache analytische Untersuchung zeigt, 

 dass diess auch die einzigen Elemente der Ebene von 

 dieser besondern Eigenschaft sind. Auch wenn Pol- und 

 Polarkegelschnitt imaginär sind, so sind doch immer Äi 

 und a\ reell. Wir setzen hiermit die Reellität der zwei 

 Kegelschnitte und damit auch des ganzen Dreieckes AiÄ2Ä^ 

 voraus und wählen dasselbe zum Fundamentaldreieck, wo- 

 durch die Projektivitätsgleichungen der 2 Ebenen, sowie 

 die Pol- und Polarkegelschnittsgleichung bedeutend ver- 

 einfacht werden. Die ersteren lauten: 



l n ^, = «11 x\ ; n ^2 = «32 ^^'3; n I3 — «33 x'^ ; 



die letzteren : 



5) C^ii Xi^ -}- (a.^3 ^«32) ^^'2 ^3=0; a«3«32ll'' — «11 («23 + «32)1213=0 



oder die Polarkegelschnittsgleichung in Punkt-Coordinaten : 



«n («23 + «32) ^1^ + "l «23 «32 ^2^3 = ^' 



Hieraus erkennt man deutlich die Bezieliung der 2 Kegel- 

 schnitte zum Fundamentaldreieck. 



Es habe nun ein Punkt P die Coordinaten ?/i,v/a,?/3 , 

 so entsprechen ihm nach 4) in beiderlei Sinn der Bezie- 

 hung die 2 Geraden 



Qs f «1 l 2/1 -^l -f «28 2/3 ^2 + «82 2/2 ^3 = 



l«n l/i ^i -f «32 2/3 ^2 -f «23 2/2 ^8 = 0; 



dieselben schneiden sich in dem doppelt conjngirten 

 Punkte P* von den Coordinaten: 



Vi* '• 2/2* : 2/3* = —(«23 + «3a) 2/2 2/3 : «11 2/1 2/2 : «11 ^i 2/8 



