Keller, conjugirte Elemente in reciproken Systemen. 5 



Specielle lagen des Punktes P. 



I. P liege in den Fundamentalecken A^, ^j, A^. 



Dem Punkte A^ entspricht in beiderlei Sinn der reci- 

 proken Beziehung die Gerade A^ A^ i also ist der ent- 

 sprechende Punkt zu Ai auf A^ A^ gelegen, dort aber 

 unbestimmt; umgekehrt, irgend einem Punkte auf A^ A^ 

 entspricht der Punkt A^. Analog entspricht dem Punkte 

 A2 irgend ein Punkt auf der Geraden A^ A^ und dem 

 Punkte A^ irgend ein Punkt auf A^ A^ und umgekehrt. 

 Bei dieser Correspondenz, die wir als eine Creraona'sche 

 Transformation bezeichnen können, sind somit ^.j , ^2 1 -^3 

 die drei Hauptpunkte und a\, «'2, «'3 die ihnen ent- 

 sprechenden Geraden. 



II. P liege auf dem Polkegelschnitt K. 

 Alsdann ist nach 5) «n z/i^ — w^/g y^ = 0, somit 



m == — ^ und daher 

 2/22/3 



Vi* ' 2/2* : 2/3* = \] J 2/2 2/3 •• «u 2/1 2/a - «11 2/i 2/3 

 2/2 2/3 



= 2/1=2/2:2/3 



d. h. P* fällt mit P zusammen, was auch geometrisch 

 sofort klar ist, denn die zwei dem Punkte P in beiderlei 

 Sinn der reciproken Beziehung entsprechenden Geraden 

 gehen durch ihn selbst hindurch; es sind die zwei durch 

 ihn an den Polarkegelschnitt gehenden Tangenten. 



III. P durchlaufe eine beliebige Gerade g. 



Ist «1 y^ H- «2 2/2 + ^3 ^3 = ^ ^iö Gleichung der 

 Geraden, so ergiebt sich mittelst der Gleichung (7), dass 

 die Punkte Pj*, die den Punkten Pj der Geraden ent- 

 sprechen, auf der Curve liegen von der Gleichung: 



S) a.^ «n Xi Xi + «i Wl X-i Xj -\- CCq Un XqXi = 0. 



