12 Keller, conjugirte Elemente in reciproken Systemen. 



1) Der Kegelschnitt gehe durch die drei Hauptpunkte. 

 Dann sind «u = «22 = «33 = ^5 ^i® Curve 4. Ord- 

 nung zerfällt in die drei Hauptgeraden cc\,a\,a'^ und 

 es bleibt nach 9) noch die Gerade übrig: 



11) 0^23 «Jl ^l + «12 W^ ^2 + «13 Wi 5^3 = 0. 



Diese Beziehung ist durch das Vorige bereits erledigt; 

 die Tangenten des Kegelschnittes in Ä^^ A^^ A^ liefern die 

 Schnittpunkte der Geraden mit «'i,«'2i«'3 resp. 



2) Der Kegelschnitt gehe durch die 2 Uauptpunlcte Ä2, Ä^. 

 Dann sind «22 = ^33 == ö und die Gleichung 9) redu- 

 cirt sich auf: 



12) x^x^ia^im^x^Xs-^- 2 ai.;^ma^iXiX2-{-2 cci^maiiXxXs -\-2 (x^^aliXi) =0. 



Von der Curve 4. Ordnung sondern sich also die beiden 

 Geraden cc'2 und «'3 ab und es bleibt noch ein Kegel- 

 schnitt übrig, der ebenfalls durch die zwei Hauptpunkte 

 ^21 -^'^3 gellt; z. B. dem Polkegelschnitt entspricht eine 

 Curve 4. Ordnung, die sich aus ihm selbst und den zwei 

 Geraden «'2, a\ zusammensetzt. Der Kegelschnitt 12) 

 mag der entsprechende Kegelschnitt ^* zu dem gegebenen 

 K genannt werden. Die Schnittpunkte von K mit a'^ 

 und «'3 liefern die Tangenten an K* resp. in A^ und A^. 

 Durch A2 und ^3 gehen dreifach unendlich viele Kegel- 

 'schnitte; unter ihnen gibt es solche, die sich selbst ent- 

 sprechen und die auf folgende Weise leicht gefunden 

 werden können: Wir nehmen irgend zwei entsprechende 

 Punkte P und P*, dann entspricht jeder Kegelschnitt des 

 Büschels von den vier Grundpunkten A^, A^, P, P* sich 

 selbst und zwar ist ein solcher Kegelschnitt in involuto- 

 rischer Central-Collineation mit sich selbst in Bezug auf 

 Ai als Centrum und der Polaren von Aj^ in Bezug auf 

 ihn als Axe: Denn ein Kegelschnitt durch A^ J.2, P, P* 



