Keller, coujugirte Elemente in reciproken Systemen. 15 



4) Der Kegelschnitt K gehe nur durch den HauptpunTct Ai. 

 Die entsprechende Curve 4. Ordnung, ausgedrückt 

 durch Gleichung 9, zerfällt dann in die Gerade a\ und in 

 eine Curve 3. Ordnung (Fig. 4) von der Gleichung: 



13) «22 «11 oc^ x^^ -\- «33 «1 1 Xi .Tg^ + 2 «1 2 m X2 ^Xa -\- 2 cii^m x.^ Xs^ 



4- 2^23 Uli Xi X2Xa = 0. 



Dieselbe hat in A^ einen Doppelpunkt; nach 10) ist das 

 Tangentenpaar in demselben ausgedrückt durch die Glei- 

 chung : 



«22 ^'2 \ ^ ^23 ^2 "^3 "T ^33 ^3 ^^ '- 



und die Tangenten in Ag, ^3 durch die Gleichungen: 



«22 «11 ^1 + 2 «12 Wl iCg = 

 «33 «11 0^1+2 «13 m X.2 = 0. 



Äi ist ein Doppelpunkt mit zwei reellen Tangenten, eine 



Spitze oder ein isolirter Doppelpunkt, je nachdem a]3~ci22(^3z 



ist. Die allgemeine Construktion des entsprechenden Punktes 

 zu einem gegebenen zeigt, dass die zwei Schnittpunkte 

 von Ä2 J-3 mit dem gegebenen Kegelschnitt mit A^ ver- 

 bunden die Tangenten in A^ an die Curve 3. Ordnung 

 geben; man sieht: Je nachdem .lg, A3 den gegebenen 

 Kegelschnitt schneidet, berührt oder gar nicht trifft, ist 

 Ai ein Doppelpunkt mit zwei reellen Tangenten, eine 

 Spitze oder isolirt. Die Tangenten in A^ und A^ erhalten 

 wir als die entsprechenden Geraden zu denjenigen, welche 

 resp. .I3 und .ig mit den Schnittpunkten von A^ J-j, A^A^ 

 mit dem gegebenen Kegelschnitt verbinden. Diejenigen 

 Punkte des Kegelschnittes, die auf Ä' 00 liegen, verwandeln 

 sich in unendlich ferne Punkte; unsere Curve 3. Ordnung 

 erhält somit einen hyperbolischen Ast, 3 hyperbolische 

 Aeste, einen hyperbolischen und einen parabolischen Ast 

 oder endlich die unendlich ferne Gerade zur Inflexions- 



