Keller, conjugirte Elemente in reciproken Systemen. 25 



die Ebene A^^ Ä^ A^ ^ A^, so ist hierdurcli die Zuordnung 

 der drei übrigen Elementenpaare bereits bestimmt: z. B. 

 dem Punkte A2 kann dann nur entweder die p]bene A^A^A^ 

 oder A^A^A^ entsprechen; die letztere ist es nicht, denn 

 der Punkt A^ liegt auf der Ebene Aj, also muss die ent- 

 sprechende Ebene A2 ^m-Q^i A^ gehen; etc. Einer belie- 

 bigen Geraden im Räume, als Punktreihe aufgefasst, ent- 

 spricht wieder eine Gerade, als Scheitelkante des Büschels 

 von Ebenen, die den Punkten der Reihe entsprechen; 

 so correspondiren die Kanten des windschiefen Vierseits 

 A^A^A^A^Aj^ des vorigen Tetraeders sich selbst, während 

 die zwTi gegenüberliegenden Kanten A^ A^ , A^ A^ sich 

 gegenseitig entsprechen. Bei dem Nachw^eise der Existenz 

 dieses Tetraeders ergiebt sich, dass diese zwei Gegenkanten 

 unter allen Umständen reell sind. Es gibt ferner ein ein- 

 faches Hyperboloid, die Polfläche P, dessen Punkte da- 

 durch ausgezeichnet sind, dass durch jeden die zwei ihm 

 in beiderlei Sinn der Beziehung entsprechenden Ebenen 

 gehen; und ebenso ein einfaches Hyperboloid, die Polar- 

 fläche 77, dessen Tangentialebenen die zwei ihnen ent- 

 sprechenden Punkte enthalten. Diese beiden Hyperboloide 

 enthalten das windschiefe Vierseit A^ A^ A^A^A^ und 

 berühren somit die Ebenen des Tetraeders in den Ecken 

 desselben. Setzen wir die Reellität des ganzen Tetraeders 

 und damit auch der beiden Hyperboloide voraus, so können 

 wir dasselbe zum Fundamentaltetraeder wählen, dann wird 

 die Beziehung der zwei reciproken Systeme analytisch 

 ausgedrückt durch die Gleichungen: 



im l'i = ajg.rg ; m ^'2 = «2f^4 ; w? ^'3 = a^i^i ; m ^'4 = a^^x^; 



und die Gleichungen der Pol- und Polarfläche lauten: 

 jj fP = (ai3 -}-a3i)XiXs + («24 + a^i)XiX4, = 



l/7 = ai4rt42 (rti3 -f rt3l)^l^3 + «I3«3l(«21 + «42 ) I2 ^4 = 



