26 Keller, conjugirte Elemente in reciproken Systemen. 



Einem beliebigen Punkte P von den Coordinaten yity^iyziV^ 

 entsprechen daher nach der Gleichung I) in beiderlei Sinn 

 der Beziehung die zwei Ebenen: 



JJJ («132/3^1 + «242/4^2 + «342/j ^^ + «422/2^4 = 

 U3I 2/3^1 + «422/4^2 + «132/1^3 H" ^^242/2^4 = 0. 



Dieselben schneiden sich in einer Geraden p*^ die wir 

 die doppelt conjugirte Gerade zu dem Punkte P 

 nennen. Durch Addition und Subtraktion der zwei Glei- 

 chungen III. ergeben sich die zwei neuen Gleichungen : 



(Cfl3 + «31) (2/3^1 4- 2/1^3) + («84 + «42) (2/4^2 + 2/2^4) = 

 («13 — «31) (2/3^1 — 2/1^3) + («24 — «42) (2/4^2 — 2/2^^4) = 0. 



Dieselben stellen zwei Ebenen dar, die durch ^j* gehen; 

 die erstere ist die Polarebene des Punktes P in Bezug 

 auf die Polfläche und die letztere enthält die Schnittlinie 

 der zwei Ebenen : 



2/3^1 - 2/1^3 = 0; 2/4^2 — 2/2^4 = 0. 



Diese Gerade ist die gemeinsame Transversale ty aus P 

 zu den zwei Gegenkanten A^ A^ , A^ A^ des sich involu- 

 torisch entsprechenden Tetraeders; es liegen somit diese 

 Transversale und j9* in derselben Ebene und schneiden 

 sich daher in einem Punkte P*, der auch in der Polar- 

 ebene von P in Bezug auf die Polfläche gelegen ist ; die 

 Untersuchung der Abhängigkeitsverhältnisse der zwei Punkte 

 P und P* bildet den zweiten Theil unserer Abhandlung 

 als räumliches Analogon zum ersten. 



Der entsprechende Punkt P* zu P ist der Schnitt- 

 punkt der drei Ebenen: 



Vz^x —2/1 ^'3 = 



2/4^*2 —2/2^4 =0 



<»132/3^1 + «242/4^2 4- «3l2/l^3 + «422/2^4 = ^' 



Hieraus ergeben sich für die Coordinaten Xi des Punktes 

 P* folgende Werthe: 



