Keller, conjugirte Elemente in reciproken Systemen. 41 



Dem Punkte Ä^ entsprechen alle Punkte der Tan- 

 gentialebene in ihm an die Polkugel ; ebenso dem Punkt A^ 

 alle Punkte der Ebene A3 ; irgend einem Punkte auf der 

 Kaute Ä^Ä.^ entsprechen alle Punkte der unendlich fernen 

 Geraden AgA^ und umgekehrt; die Punkte der Polkugel 

 entsprechen sich selbst. Einer beliebigen Ebene E von 

 der Gleichung ^x + 7^1/ -\- ^z -\- 1 = entspricht eine 

 Fläche 3. Ordnung von der Gleichung: {^z 4- 1) {x^ -\-y^) 

 -h (^x -^ rji/) {r^ — z^) = ; diese enthält J.^, A^ und die 

 zwei imaginären Kreispunkte A2, A^ zu Knotenpunkten. 

 Geht die Ebene E durch A^A^^ zerfällt die Fläche 3. Ord- 

 nung in 3 Ebenen, in E selbst und in die zwei imaginären 

 Ebenen {x -\-yi) (x — ?/i) = 0, welche den Kreispunkten 

 entsprechen; analog, wenn E durch A^A^ geht. Da 

 nun zudem der entsprechende Punkt P* zu P auf der 

 Polarebene von P in Bezug auf die Polkugel liegt, so 

 ergiebt sich die folgende Construction von P* aus P: 

 Wir fällen von P das Perpendikel auf ^4.1^.3, auf diesem 

 liegt P*; er ist dann der vierte harmonische Punkt zu P 

 in Bezug auf die zwei Schnittpunkte des Perpendikels mit 

 der Polkugel, oder wenn diese imaginär sind, der Schnitt- 

 punkt des Perpendikels mit der Polarebene des Punktes P 

 in Bezug auf die Polkugel. — Zwischen den Gebilden in 

 einer beliebigen Ebene durch ^1^.3 besteht die Beziehung 

 des ersten Abschnittes für den Sclmittkreis der Ebene mit 

 der Polkugel als Polkegelschnitt und für A^A^Ao^ als das 

 sich involutorisch entsprechende Dreieck der Reciprocität. 

 Zwischen den Gebilden in einer Ebene durch A^A^ haben 

 wir ferner nichts anderes als die Beziehung der reciproken 

 Radien für den Schnittkreis der Ebene mit der Polkugel 

 als Leitkreis; trifft die Ebene die Kugel nicht, so müssen 

 wir zur Construction entsprechender Elemente die ganze 



