Aeschlimann, ebene Curven vierter Ordnung. 367 



liegen ihre Mittelpunkte offenbar entweder auf der unend- 

 lich fernen Geraden der Ebene, sagen wir y^, oder auf 

 einer der drei Verbindungslinien der Seitenmitten des 

 Tangentendreiseits, sagen wir g^^ g^, g^. Der Ort C 

 besteht also in diesem Fall aus vier Geraden. Ist ferner 

 das Verbältniss der Axen gleich )^^, so sind die berüh- 

 renden Kegelschnitte gleichseitige Hyperbeln. Die Mittel- 

 punkte derselben liegen bekanntlich auf einem Kreise /, 

 welcher das Tangentendreiseit zum Tripel harmonischer 

 Polaren hat. Die Curve C besteht also in diesem Fall 

 aus dem doppelt gelegten Kreise /. Jeder Punkt der 

 Ebene ist im Allgemeinen der Mittelpunkt eines ganz be- 

 stimmten Kegelschnittes mit drei gegebenen Tangenten. 

 Wählt man hingegen die Schnittpunkte des doppelt gelegten 

 Kreises / mit den Geraden g, (i = 0, 1, 2, 3) als Mittel- 

 punkte solcher Kegelschnitte, so kann das Axenverhältniss 

 sowohl den Werth als f~^ haben, d. h. es ist für diese 

 Punkte unbestimmt. Demnach gehn auch die zu belie- 

 bigen Werthen des Axenverhältnisses gehörigen Curven C 

 durch eben diese Punkte, bilden also ein Büschel mit 

 paarweise zusammenfallenden Grundpunkten. ^) Ist also 

 g^ = die Gleichung der Geraden g^, f = diejenige 

 des Kreises /, so lässt sich die Gleichung jeder Curve C 

 auf die Form bringen: 



C = go ' gi ■ g2- Os — Q • P = 0, 

 wo Q eine Funktion des Axenverhältnisses ist. Demnacli 

 ist C die Enveloppe einer Kegelschnittreihe von der Gleichung : 



^) Jeder reelle Punkt bestimmt als Mittelpunkt eines Kegelschnittes 

 mit drei reellen Tangenten stets auch einen reellen Kegelschnitt. Folg- 

 glich sind die Grundpunkte des Büschels sämmtlich imaginär, und 

 pie Geraden g^, g^, g^, g^ sind gemeinschaftliche ideale Doppeltan- 

 genten aller Curven C des Büschels. 



