368 Aeschlimann, ebene Curven vierter Ordnung*. 



Li ^ <7o Qv K^ + 2. ^Q. f-h+ 02 93=0, 

 oder auch von 



L2 = go 92, h^ + 2. Vq. f. X2 + 9i 93 = , 

 L3 = 9o 93, h^ + 2. fg. f. X3 -^ 9i9'2 = 0, 



WO A^, A2, A3 variable Parameter sind. In der That ist 

 (7=0 die Bedingung, dass die vorstehenden Gleichungen 

 gleiche Wurzeln li zulassen. Jeder Kegelschnitt der Keihe 

 berührt die Enveloppe Cin vier verschiedenen Punkten. Zer- 

 fällt er in ein Linienpaar, so ist dieses ein Doppeltan- 

 gentenpaar von C. Die Bedingungsgleichung wird vom 

 6. Grade in den A/. Dieselbe enthält aber die Wurzeln 

 und 00, reduzirt sich also auf eine Gleichung des vierten 

 Oracles. Da man aus jeder der drei Reihen L^ = 0, L2 

 = 0, L3 = auf diese Weise vier neue Doppeltangenten- 

 paare erhält, so können wir durch Auflösen von Gleichungen 

 vierten Grades die Gleichungen von sämmtlichen 28 Doppel- 

 tangenten ableiten. Das Problem ist also algebraisch lösbar, 



§ 2. 



Wir wollen nun die im vorigen Paragraphen ange- 

 deutete Auflösung wirklich ausführen. Zu diesem Zwecke 

 leiten wir zuerst die Gleichung der Curve C ab. Wir 

 wählen das Tangentendreieck ABC zum Coordinatendreieck 

 und bestimmen einen Punkt durch seine Abstände x^ y, z 

 von den Seiten 



BG = a, CA = b, AB = c, 

 wobei die Abstände für einen Punkt im Innern des Drei- 

 ecks als positiv gerechnet sein sollen. Es gilt dann für 

 z/, als den doppelten Inhalt des Dreiecks ABC, stets 



die Gleichung: 



ax -\- bi/ -\- cz = ^ 1) 



Seien nun M der Mittelpunkt, F^ und i^j die Brennpunkte 



