378 Aeschliraann, ebene Curven vierter Ordnung. 



Die Anfangs gestellte Aufgabe ist damit gelöst. Die 

 Realität der Doppeltangenten lässt sich leicht aus ihren 

 Gleichungen entscheiden, und es ergibt sich daraus ein 

 indirekter Beweis für die Richtigkeit der Diskussion der 

 verschiedenen Formen, welche die Curven C des Büschels 

 annehmen können. 



Für positive Werthe von A sind die Grössen ä:, l, m, 

 n^ 2), sowie die Differenzen (m—k), (n — k), ( jj — A;), sämmt- 

 lich reell und positiv. Folglich sind alle Dopideltangenten 

 tik reell. 



Wird hingegen A negativ, also z. B. A = — A^, wo 

 Aj zwischen und (-f- 1) liegt, so erhält man : 



l \ -i, ^ ^ 1 1 -h Ai . , \l{\+i,y- 



n 



^.z/.l/^ii^'-4cosec£2. ^, =«.z/.l/^i±^-4 cosec C^ 



wo i= Y — 1 ist. Ist Aj klein, so sind die Grössen m, 

 n, p sämmtlich rein imaginär. Sie werden jedoch der 

 Reihe nach wieder reell, sowie A^ die Grenzen 



j2 7^2 nt 



überschreitet. Die Grössen fm + fc, Vn ± A:, fp ± fc, welche 

 in die Gleichungen der durch die Ecken des Coordinaten- 

 dreiecks gehenden Doppeltangenten eingehen, sind ima- 

 ginär, folglich sind diese letztern Doppeltangenten auch 

 sämmtlich imaginär. Von den übrigen sind (weil Anfangs 

 der Faktor — sich aus sämmtlichen Gliedern weghebt) 



für Aj < tg-g- alle reell, für tg-^- < A^ < tg-^- sind bloss 



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noch die t^k (k = 5, 6, 7, 8) reell, und für tg-2-< A^ < 



