Notizen. 405 



blems bildet : Wenn die Kreise so liegen, dass drei der ihnen 

 in Paaren gemeinsamen Tangenten durch einen Punkt gehen, 

 so gehen immer auch die drei andern durch einen Punkt. Die 

 Verbindungslinien der Berührungspunkte des Kegelschnittes 

 mit zweien seiner doppelt berührenden Kreise sind die von 

 Steiner a. a. 0. (p. 197 f.) als Wechselsehnen benannten 

 Geraden mit der doppelten Eigenschaft, dass sie in den Kreisen 

 gleiche Sehnen bilden und dass diese Kreise vom Schnittpunkt 

 der zugehörigen Tangenten oder den Wechselschnitten 

 aus unter gleichen Winkeln erscheinen; der Ort der Wechsel- 

 schnitte ist somit der Kreis des Büschels der gegebenen Kreise, 

 der durch ihre Aehnlichkeitspunkte geht, und die Enveloppe 

 der Wechselsehnen die Parabel, welche ihre vier gemeinsamen 

 Tangenten bestimmen. Diese Doppeleigenschaft bildet die an- 

 dere Grundlage der Steiner'schen Construction des Malfatti'- 

 schen Problems. Beide gelten auch für die Kreise auf der 

 Kugel. 



Es ist ersichtlich, dass die Tangenten von den Punkten 

 des Kegelschnittbildes an den Kehlkreis des Netzhyperboloides 

 die Bilder der geradlinigen Erzeugenden (beider Regeischaaren) 

 des Letzteren sind, welche von den Punkten des Kegelschnitts 

 selbst ausgehen (die Ebenen dieser Paare haben die zugehöri- 

 gen Berührungssehnen im Kehlkreis zu Spuren und diese bei- 

 den umhüllen somit einen neuen Kegelschnitt, der den Kehl- 

 kreis in denselben beiden Punkten mit dem Bilde des gegebe- 

 nen berührt, etc.); somit auch, dass die betrachteten Tangen- 

 tenlängen in der Bildebene durch Vergrösserung im Verhält- 

 niss 1 : K" 2 die Längen der geraden Erzeugenden des Netz- 

 hyperboloides von den Punkten des Kegelschnitts bis zum Kehl- 

 kreis selbst liefern, so dass die ausgesprochene Relation con- 

 stanter DiÖerenz oder Summe auf diese letzten übergeht. 



Wenn die Bildebene durch die Spitze M^ des einen der 

 beiden sich durchdringenden orthogonalen Rotationskegel geht, 

 so fällt das Netzhyperboloid mit diesem und sein Kehlkreis 

 mit der Spitze M^ zusammen, diese ist der eine Brennpunkt 

 und die entsprechende Spur s die zugehörige Directrix oder 

 Berührungssehne; man hat die bekannte allgemeine Definition 

 der Brennpunkte und sieht den Weg zur Erweiterung der fun- 



