Notizen. 407 



mit den Aehnlichkeitspunkten der jedesmaligen beiden andern 

 sind die sechs Seiten eines vollständigen Vierecks oder sie 

 schneiden sich viermal zu drei in einem Punkte. Denn z. B. 

 die Geraden 3fi Ji, 31^ J^, M^ J^ sind die Bilder der Schnitt- 

 linien von jedesmal zwei Ebenenpaaren, nämlich die erste von 

 12*3, 12H* und 1*23*, 1*2*3 oder kürzer von 2*, 3*, 2, 3, die 

 zweite ebenso von 3*, 1*, 3, 1 und die dritte von 1*, 2*, 1, 2, 

 d. h. sie schneiden sich in dem Punkte S'q, der die zur Bild- 

 ebene orthogonalsymmetrischen Punkte Sq und So* repräsen- 

 tirt, von denen der erste der Schnittpunkte der drei Ebenen 

 3*, 1*, 2* und der letzte der Schnittpunkt der Ebenen 3, 1, 2 

 ist. Analog für die drei andern Punkte 5/, wo sich 31^ Ji, 

 M2 -42, M3 A3; S2, wo sich Ml Äi, M^ J^ und 1/3 J3; ^^3', wo 

 sich Ml Ai, 3/2 -42, M^ J3 respective durchschneiden. Aus 

 meiner Ableitung ersieht man, dass die acht so gefundenen 

 Punkte als einfache Schnittpunkte des Systems der acht Ebe- 

 nen, zusammen mit den sechs Aehnlickkeitspunkten als vier- 

 fachen und den sechs gegebenen Punkten als ebenfalls vier- 

 fachen Schnittpunkten die Gesammtzahl ihrer 56 Schnittpunkte 

 liefern. Der ergänzende Gegensatz des Vierseits der Aehnlich- 

 keitsaxen und des Vierecks dieser Punkte ist offenbar; jenes 

 hat die Centrallinien der drei Kreise in Paaren zu seinen Dia- 

 gonalen, dieses die Centra zu Diagonalpunkten oder beide ha- 

 ben dasselbe Diagonal-Tripel. Der anschauliche Beweis zeigt 

 auch, dass die sechs Gruppen von je vier Punkten in gerader 

 Linie *S'o' Sy' J^ M^, So' S.,' J., 31,, So S'^ J3 31^, S./ S^' A, 31^, S3' 5/ 

 A2 M2, SV SV -43 Ms harmonische Gruppen sind, weil Sq S^ durch 

 Ml, Si S3 durch 31, gehen, etc. Die Geraden Si sind die Har- 

 monikaien der Punkte Si' in Bezug auf das Dreieck der Centra 

 Ml 31.2 -^3- ^^an erhält daraus ebenso unmittelbar die Evidenz 

 der in Steiner's „Geometrische Constructionen" p. 58 unter II 

 gemachten Bemerkung über ähnlich liegende Punkte. Denn 

 wenn man durch die Punkte 1, 2, 3, 1*, 2*, 3* gerade Linien 

 von einerlei Richtung bis zur Bildebene zieht, so sind ihre 

 Fusspunkte in dieser Pi, P^, P3, Pi*, Pj*, P3* solche ähnlich 

 liegende Punkte ; P, Pi*, P2 P2*, P3 P3* mit Mi, M^, M3 respec- 

 tive als den Mittelpunkten ihrer Strecken; ferner Pi P^ und 

 Pi* P2* mit A3, Pa P3 und P2* P3* mit A^, P3 Pj und P3* Pj* mit 



