Denzler, über die Zerlegung echt gebrochener Functionen. 285 



Auflösung. 



Man hat oifenbar folgende identische Gleichung: 



(p(.r) _ Mx-{-N 



l{x-uy' + ß'rrp{x) [(a;-a)2 + ^T 



+ 



[{q>x)-{Mx-^N)^pix)]:[x-ay-hßn .. 



[{x-ay- + ß^--'xp{x) ^ 



I. Wir zeigen nun vorerst, dass es immer bestimmte reelle 

 Zahlwerthe von M und A' gibt, für welche [(p(x) — 

 (Mx-{-^)^(^)] durch [(x — ay-i-ß^] ohne Rest theil- 

 bar wird. 



Da nach der Voraussetzung i/; (a -h ßi) nicht 0, so 



lässt sich gewiss ^ , i- in eiue Complexe P -\- Qi 



verwandeln, wo P und Q reelle leicht zu bestimmende 

 Zahlen sind. Suchen wir nun die Werthe von M und iV, 

 für welche die Gleichung M{a + ß\) -{-N= P + (? i, also 

 auch die Gleichung (p{a -\- ßi) ~ [M(a + /3t) + A'] 



'i\){a -\- ßi) = identisch wird, so finden wir M =-j 

 und iV = P ^, wo ß nur nach der Voraussetzung 



r 



nicht ist. Bei diesen Werthen von M und N wird 

 also die ganze Function [(p(x) — (Mx-{- IS) tl^{x)~\ mit 

 durchgehends reellen Coefficienten sicher verschwinden 

 für a; = a H- ßi, mithin auch für x = cc — ßi, und es 

 muss daher, da, wegen ß^O, a -{- ßi und a ~ ßi un- 

 gleich sind, jene ganze Function durch [x — (a H- /3i,] 

 Ix — (a — ßi)] oder [(x — a)^ -{- ß^] bei den er- 

 wähnten Wertheu von M und A' ohne Rest theilbar sein. 



n. Dass es nicht ein zweites Paar Werthe von M und A' 

 gibt, für welche [(p(x) — {Mx -f- N) t(x)] durch 

 (x — a)^ -\- ß^ ohne Rest theilbar wird, lässt sich leicht 



