Denzler, über die Zerlegung echt gebrochener Functionen. 287 



identisch sein; denn wäre z. B. R nicht 0, so würde 



für jeden Werth von x, der^ — ^, die Summe Rx-{-S 



nicht sein. Wir erhalten daher die Werthe m und n 

 einfacher dadurch, dass wir die 2 Gleichungen /? — 

 und 5 = nach M und iV auflösen. Die so erhaltenen 

 Werthe von M und N müssen dann nothwendig mit 

 m und n ühereinstimmen. Setzen wir m und n für Mund N 

 in das gefundene Ergebniss der erwähnten Division, 

 w^elches offenbar eine ganze Function von x sein wird, 

 und bezeichnen das Resultat dieser Setzung mit F, so 

 hat man für die Gleichung 1.) folgende Identität: 

 '• fp (/r) mx~\-n 



"^ Kx — x)^ + ß'']*-'~^'{x) 

 wo wir der Kürze wegen den Divisor [x — «)^ -|- ^^]""' 

 il}{x) ^= D setzen wollen. 

 IV. Dass durch diese Gleichung unsere Aufgabe vollständig 

 gelöst ist, wird sofort klar, wenn wir gezeigt haben, 



1) Dass D nicht eine Constante sein kann, 



2) Dass, wenn D vom ersten Grade, F eine Constante 

 ^0 sein muss, 



3) Dass, wenn D vom ^"" Grade, wo ^^2, F eine 

 Constante ^ oder dann eine ganze Function von x 



höchstens vom {q — 1). Grade sein muss. 



Ad 1) Wäre D eine Constante, so müsste m = 1 und 

 i^{x) eine Constante, mithin [(x — «)^ -+ ^^]" 

 7l;{x) vom zweiten Grade sein. Da nun der 

 Ausdruck links vom Gleichheitszeichen in lo) 

 echt gebrochen, so müsste (p{x) entweder 



