288 Denzler, über die Zerlegung echt gebrochener Functionen. 



eine Constante oder eine ganze Function vom 

 ersten Grade sein ; aber in beiden Fällen wäre 

 dann entgegen der Voraussetzung in der Auf- 

 gabe eben jener Ausdruck ein Partialb ruch. 



Jd 2) Wenn D vom ersten Grade wäre, so müsste 

 M = 1 und il^{x) vom ersten Grade, mithin 

 der Divisor im ersten Theil der Gleichung l^) 

 vom dritten Grade sein. Da nun der erste 

 Theil in Iq) echt gebrochen, so könnte €p{x) 

 und mithin auch [cp{x) — (m -f- n) ^{x)'] 

 höchstens vom zweiten Grade sein, woraus 

 sofort folgt, dass F in diesem, Falle nur eine 

 Constante ^ sein kann. Ist z. B. der erste 



Theil in lo) = (^TfY=^^-zT)' '" ^nde man 

 m = 0, w = 1, F= 0. 

 Ad 3) Wenn D vom q. Grade, so ist der Divisor 

 im ersten Theil von lo) vom {q + 2). 

 Grade, mithin (p(x) höchstens vom {q -h !)• 

 Grade, {mx -}- n) ip (x) ebenfalls höchstens vom 

 (q -\- 1). Grade. In diesem Falle ist also F 

 gewiss entweder eine Constante = 0, was sehr 

 wohl sein kann, oder dann eine ganze Func- 

 tion höchstens vom {q — 1). Grade. 



V. Da jede der Auflösungen unserer Aufgabe offenbar in 

 der Form der Gleichung 1) gedacht werden kann, so 

 wird, wenn m^ und Wq die Werthe von M und N irgend 

 einer Auflösung sind, cp{x) — {m q x -\- n q) il^ (x) durch 

 {x — ay -{- ß^ ohne Kest theilbar sein. Da es aber 

 nach dem Bewiesenen nur Ein Paar Werthe von ijf und N 



