Denzler, über die Zerlegung echt gebrochener Functionen. 289 



gibt, für welche diese Theilbarkeit eintritt, so wird 

 klar, dass unsere Aufgabe nur eine einzige Auflösung 

 zulässt. 



§ 3. Aufgabe. 



Es ist gegeben die echt gebrochene rationale alge- 

 braische Function von a?, nämlich: 



{x — a)""'^ [x) 

 die nicht ein Partialbruch ist, und bei der 1) (p{x) und 

 il;{x) ganze rationale algebraische Functionen von x mit 

 durchgeh ends reellen Coefficienten sind, von denen jedoch 

 Eine auch eine von verschiedene reelle Constante sein 

 kann, 2) tl^{x) nicht wird für x = a, 3) a irgend eine 

 bestimmte Zahl incl. 0, 4) m eine positive ganze Zahl ^ 1. 

 Man verlangt die Verwandlung der gegebenen Func- 

 tion in eine Summe aus 2 Summanden, von welchen der 

 eine ein Partialbruch mit dem Divisor {x — a)"" und der 

 andere entweder oder eine echt gebrochene rationale 

 algebraische Function von x mit dem Divisor (x — a)""' 

 tp(x) ist. 



Auflösung. 



Man hat folgende identische Gleichung : 



q>{x) A . \cp{x) — Atp{x)]:{x—a) 



x—a)'^'^>[x) "~~ (x — a)"» {x — a)'^-'^\^{x) 



Nun dividirt man nach den bekannten Regeln der 

 Algebra (p(x) — Aip{x) durch x — a, bis man zu einem 

 Reste gelangt, der x niclit mehr enthält. Den so erhaltenen 

 Rest setzt man = und löst die entstandene Gleichung 

 nach A auf. 



Bezeichnet nun p den gefundenen Werth von .4, und // 



