Denzler, über die Zerlegung echt gebrochener Functionen. 291 



Auflösung. 



Nachdem man auf bekannte Weise F{x) in ein Pro- 

 duct aus dem Coefticienten der höchsten Potenz von x 

 bei F{x) in ein Product aus Potenzen von verschiedenen 

 (reellen) binomischen und verschiedenen trinomischen Fac- 

 toren verwandelt hat, worunter dann natürlicli auch erste 

 Potenzen sein können, setze man F(x) gleich dem Product 

 aus irgend einer dieser Potenzen (P^) in das Product aller 

 übrigen Factoren, das tl){x) sei. Nun verwandle man die 



fix) 

 ffesjebene Function ' , , nach III. in der Auflösunsf zu 



§ 2 oder nach der Auflösung zu § 3, jenachdem P ein tri- 

 nomischer oder binomischer Factor ist, in eine Summe 

 aus einem Partialbruch mit dem Divisor P' und einer echt 

 gebrochenen Function mit dem Divisor P'~^7l;{x). Ist nun 

 dieser zweite Summand ein Partialbruch, so ist natürlich 

 die Aufgabe gelöst. Im entgegengesetzten Falle verwandle 



mau diesen zweiten Summanden genau so, wie man -^— 



verwandelt hat, indem man wieder entweder § 2 oder § 3 

 anwendet. Man erhält auf diese Weise eine zweite Glei- 

 chung deren zweiter Theil eine Summe aus einem Partial- 

 bruch und einer echt gebrochenen Function ist, deren Di- 

 visor wieder wenigstens um einen Grad niedriger ist, als 

 der Divisor im ersten Theil dieser zweiten Gleichung. 

 Wenn nun der zweite Summand dieser zweiten Gleichung 

 nicht ein Partialbruch ist, so verwandle man ihn wieder 

 nach § 2 oder § 3 in eine Summe aus zwei Summanden. 

 So fahre man fort, bis man endlich zu einer Gleichung 

 gelangt, deren zweiter Theil eine Summe aus zwei Partial- 

 brüchen ist. Es ist alsdann, wie sehr leicht einzusehen, 



