Beck, die Fundamentaleigenschaften der Linsensystenie. 329 



der Abstand der beiden einander entsprechenden Punkte 

 K,K' gleich gross ist wie der Abstand HH' der beiden 

 Hauptpunkte oder dass die Strecken HK' und H' K den- 

 selben Mittelpunkt haben. Geht ein Strahl im System 

 M durch K^ so ist sein entsprechender zu ihm parallel und 

 geht durch K' (Knotenpunkte). 



4. Jedes der beiden Systeme M,M' hat eine Gegen- 

 ebene, F,G', normal zu y, entsprechend der unendlich 

 fernen Ebene des andern Systems, und da für die per- 

 spectivischen Systeme M,M* die Gegenebenen symmetrisch 

 liegen müssen zu K und H (I, 6), so müssen die Gegen- 

 ebenen F,G' von M,M' symmetrisch liegen zu H,K' 

 (Brennebenen). Sind F,G' die Schnittpunkte von F,G' 

 mit X (Brennpunkte), so hat die Strecke FG' denselben 

 Mittelpunkt wie die Strecken HK' und H'K. Unter 

 Hauptbrennweiten versteht man die beiden Strecken 

 HF = f, H'G' = g\ 



5. Endlich kann man nach denjenigen Normalebenen 

 zu y fragen, welche mit ihren entsprechenden zusammen- 

 fallen. Für ein solches Ebenenpaar liegt das zugehörige 

 Centrum im Schnittpunkt der beiden zusammenfallenden 

 Ebenen mit x. Diese Ebenen sind die Doppelebenen S,T 

 der beiden projectivischen Büschel der Normalebene zu y 

 und sind offenbar durch diejenigen beiden Transversalen 

 zu /,/',x bestimmt, welche zu y senkrecht sind (symp to- 

 tische Ebenen)*. Ihre Schnittpunkte mit x seien 5,7'. 

 Diese sind die Doppelpunkte der beiden projectivischen 

 Reihen auf x und liegen folglich zu den Gegenpunkten F 

 und G' symmetrisch, so dass also die vier Strecken UK\ 

 H'K, FG' und 5r denselben Mittelpunkt halben. 



*J Listing, Pogg. Ann. Bd. 29. 



