330 Beck, die Fundamentaleigenschaften der Linsensysteme. 



6. Es ist aber zu bemerken, dass, während die Haupt- 

 punkte, Knotenpunkte und Brennpunkte immer reell sind, die 

 symptotischen Punkte imaginär werden können, da ihre Con- 

 struction (Doppelpunkte zweier projecti vischen Reihen auf x) 

 eine Aufgabe zweiten Grades ist. Diese beiden Reihen 

 auf X sind offenbar gleichlaufend, weil die Ebenenbüschel 

 A . . . A' . . es sind, zu denen sie perspectivisch liegen (das 

 Ebenenbüschel A . . . ist gleichlaufend mit A^ . . ., dieses 

 mit A2 . . . u. s. w.). In Folge dessen müssen 5 und T, 

 wenn sie reell sind, zwischen F und G' liegen (I, 6). Die 

 symptotischen Punkte haben mit den Brennpunkten das 

 gemein, dass sie schon bestimmt sind durch die projecti- 

 vische Beziehung der beiden Reihen A . . . A' . . . auf o?, 

 was bei den Haupt- und Knotenpunkten nicht der Fall ist. 



Da die Knotenpunkte, wenn man die Systeme M^M' 

 bis zur perspectivischen Lage verschiebt, zusammenfallen 

 und das Collineationscentrum bilden, so können sie in der 

 ursprünglichen Lage von M^W dadurch erhalten werden 

 (I, 9) dass man durch / die Ebene legt parallel zu /' und 

 durch /' die Ebene parallel zu /; die erstere Ebene schneidet 

 X im Punkte Ä", die letztere im Punkte K\ Vermöge der 

 Eigenschaft (H, 3) der Knotenpunkte kann man dieselben 

 (ff,fi'') auffassen als die Aehnlichkeitscentren der Brennebenen 

 (F,G') und ihrer entsprechenden im Unendlichen (F',G). 



7. Wir wollen für das Weitere annehmen, dass die 

 Systeme genau centrirt seien, so dass ,die beiden Geraden 

 X und 2/ zusammenfallen (Axe). Dann lassen sich die Funda- 

 mental-Punkte und -Ebenen in einer einzigen Figur an- 

 schaulich darstellen: Seien gegeben a;'/,/'. Diese drei Ge- 

 raden bestimmen eine Regelschaar ihrer Transversalen. 

 Die Hauptebenen sind bestimmt durch diejenige Erzeu- 

 gende der Schaar, welche parallel ist zur Leitgeraden x. 



