14 E. BELTRAMI, INTORNO AD ALCUNE PROPOSIZIONI DI CLAUSIUS, ECC. 



spazio cZt dell'elemento di superficie cZw; e finalmente F è una fun- 

 zione monodroma, continua e finita delle x, y, z (in x), derivabile rispetto 

 ad u. Questa formula non perde la sua validità se la funzione F perde 

 i caratteri suddetti in punti isolati dello spazio t non appartenenti 

 alla superficie co (*), purché per ciascuno di questi punti esista un 

 valore positivo e finito di [jl per il quale la funzione 



[dove z' è la distanza del punto (a:, y^ i), cui si riferisce il valore di 

 JF, dal punto singolare considerato] sia monodroma, continua e finita 

 in prossimità del punto singolare e nel punto singolare stesso. 



La formola (I) serve, il più delle volte, a trasformare un integrale 

 di volume in uno di superficie : ma può anche servire utilmente alla 

 trasformazione inversa, o, più precisamente, a convertire un'espres- 

 sione della forma di quella del secondo membro in un'altra della 

 forma di quella del primo. In questo caso è da avvertire che, entrando 

 nel second» membro soltanto i valori che F prende nei punti della 

 superficie w, se della F del secondo membro son dati soltanto questi 

 valori rimane un grande arbitrio nella scelta della F del primo mem- 

 bro, poiché questa può essere una qualunque delle infinite funzioni 

 dei punti di t che, possedendo i caratteri generici sufficienti alla va- 

 lidità della formula, prendono nei punti di w gli stessi valori della 

 data. Che se invece la F del secondo membro è, per la sua natura 

 analitica o per il suo significato geometrico, definibile in ogni punto 

 dello spazio t, e se, come tale, possiede i suddetti caratteri, essa è 

 atta senz'altro a realizzare la trasformazione inversa, senza natural- 

 mente che cessi quel parziale arbitrio che nasce dalla suaccennata 

 circostanza. 



Dalla formula (I) si deduce facilmente quest' altra più generale 



dove il segno di somma si riferisce ai tre valori w = a;, t/, s e dove 

 supporremo, per ora, F q G funzioni tali che Fy—- risulti della stessa 

 specie della F di poc'anzi. Da questa seconda formula si conclude che, 



(*) Escludo qui i punti singolari alla euperficie, perchè la loro consi- 

 derazione non è di grande importanza per 1' argomento di questa Nota-, 

 non perchè siano assolatamente incompatibili colla validità della formula. 



