E. BELTRAMI, INTORNO AD ALCUNE PROPOSIZIONI DI CLAUSIUS, ECC. 15 



se un integrale della forma 



(dove Fj, (tj, F,, (?j,... sono funzioni della specie di F, O) è nullo 

 qualunque sia la superficie chiusa t» cui esso è esteso, l'espressione 



dev'essere identicamente nulla; e viceversa, se quest'ultima espres- 

 sione è identicamente nulla, il precedente integrale dev'essere nullo 

 per qualunque superficie chiusa. 

 Ciò premesso, poniamo 



r = ^J(cc — x'f -i-iy — ?/')*+ {z — z')* 



e consideriamo l'espressione integrale 



=a/±:, 



che rappresenta la funzione potenziale sul punto (ce, y, z) d'un corpo 

 ouiogeneo di densità A, occupante lo spazio t' del quale cZ-r' è l'ele- 

 mento generico circostante al punto {x', y\ z') (*). Poniamo, come 

 d' uso. 



^i^^Ild^)'' ^T-^^,. 



V! 



e designiamo, quando occorra, con A'^, A'^ le espressioni analoghe 

 formate rispetto alle variabili oc' 

 Osservando che si ha identicamente 



2 



si può porre V sotto la forma 



Questo integrale di spazio si può convertire in uno di superfìcie, fa- 

 cendo nella formola (U, F="l, G — r, e si ottiene così 



È questa la forma che Clausius assegna alla funzione potenziale d'un 

 corpo omogeneo, nella prima Appendice alla fine del suo libro (p. 167), 

 e che venne anche ritrovata fra i manoscritti di Gauss {Werke, 



{*) Trovo opportuno di distinguere con un apice tutti gli elementi re- 

 lativi al punto («', y', z). 



