E. BELTRAMI, INTORNO AU ALCUNE PROPOSIZIONI DI CLAUSIUS, ECC. 17 



talché l'espressione (2) si può scrivere noi modi seguenti 



o più semplicemente cosi 



Il primo termine del secondo membro è la derivata rispetto ad u del 

 valore (1) di V; quindi il secondo termine deve risultare per sé stesso 

 nullo. 



Si ha dunque questo teorema, che l'integrale 



j d'i' \ d^l -'■" ' 



(4) 



esteso ad una superfìcie chiusa qualunque, è sempre nullo; teorema 

 analogo, ma non identico, a quello dimostrato da Clausius nella sua 

 prima Appendice (p. 174). 



Verifichiamo direttamente questa proprietà. 



Scrivendo x al posto di m e rimettendo l'integrale sotto la forma 



o meglio sotto quest'altra 



a!r_ filili],.,. 





(dove le derivazioni rispetto ad x' e ad u' non sono permutabili), si 

 scorge ch'esso rientra precisamente nel tipo (Ij,), dal quale risulta 

 cambiando le variabili x, y, z nelle x\ y\ z' e ponendo 



L'espressione corrispondente alla (L-) ò in questo caso 

 ^d<-Ad'«'d>^' ~ a»' 3"' 



Ora si ha 



dx ^ d^ ' " r a^ 



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Rendiconti. — 5«ri« li, Voi. XI. 



