18 E. BELTRAMI, INTORNO AD ALCUNE PROPOSIZIONI DI GLAUSIUS, ECC. 



quiDdi l'espressioue in discorso è identicamente nulla, e la proprietà 

 dell'integrale di superficie (4) è così direttamente verificata. 

 Per l'annullarsi di quest' integrale si ha 



j a «a"'" J d^i d'i' r ' 



e siccome dalla relazione (3) risulta 



fa-' d 



en' r ^ 



(o) 



J d^d'i'^ ) a" d'i' »' 

 così ha luogo la duplice eguaglianza 



J d'i' ^ -J di^'d'i' ' J d^dn' r ' 



per qualunque superficie chiusa. I prodotti di queste tre espressioni 



dV 

 eguali per — zk sono tre espressioni equivalenti della derivata ^. 



La prima e la terza corrispondono a quelle date dalle formule (29) e 

 (18) della prima Appendice di Clausius ; la seconda, in virtù della re- 

 lazione (3) [che coincide colle equazioni (9) dell'Appendice stessa], cor- 

 risponde all'equazione (17) del medesimo Autore. In virtù della citata 

 relazione (3) basta dimostrare una delle eguaglianze (5) perchè resti 

 dimostrata anche l'altra. Noi abbiamo dimostrato direttamente la 

 eguaglianza dei due ultimi membri. Il procedimento di Clausius lo 

 conduce invece a dimostrare l' eguaglianza del terzo membro col 

 primo [veggasi l'equazione (30) della sua prima Appendice]. Se, final- 

 mente, si fosse ammessa a priori l'eguaglianza dei due valori di 



^ dati dalle equazioni (1) e (2), si sarebbe con ciò posta a priori la 



a w 



eguaglianza dei due primi membri. Queste due ultime eguaglianze si 

 potrebbero verificare col processo che abbiamo applicato alla prima, 

 cioè colla formazione di due espressioni del tipo (|<.ì, che si trovereb- 

 bero identicamente nulle. La seconda eguaglianza, cioè quella di Clau- 

 sius, è la più elegante, perchè le tre derivate 



d^i' a>- d>' 



a 't' ' a « ' a >^' ' 



che in essa entrano, hanno significati geometrici molto semplici. 

 Il terzo dei precedenti valori della derivata di F, cioè 



du ' ) di^d'^' ^ 



(6) 



è quello stesso che costituisce il Theorema sextum della Theoria at- 

 tractionis, ed è ottenuto direttamente da Clausius (§§ 19, 20) con un 



i 



