E. BELTUAMI, INTORNO AD ALCUNE PROPOSIZIONI DI GLAUSIUS, KCC 19 



processo essenzialmente identico a quello di Gauss. Noi invece non 

 abbiamo ottenuto che indirettamente questo valore (6), come alla sua 

 volta Clausius non lui ottenuto clie-indij;'ettamente il valore (2). La 

 ragione di questo fatto sta in ciò, che i due valori (2) e (6) sca- 

 turiscono rispettivamente da due diverse maniere di decomporre un 

 volume, che dirò cilindrica l'una e conica l'altra. Alla prima maniera, 

 cui si riferiscono i teoremi primo, secondo e terzo della più volte 

 citata Memoria di Gauss, corrisponde la formula generale (I); alla 

 seconda, cui si riferiscono i teoremi quarto, quinto e sesto della stessa 

 Memoria, corrisponde invece la formula generale seguente 



nella quale r rappresenta il raggio vettore condotto da un polo fisso 

 ad un punto dell'elemento clr o dw; Fé considerata come funzione 

 di questo raggio vettore e di due altre variabili atte a definire la 

 direzione di esso; F^ è il valore di F nel polo ; a è ciò che può chia- 

 marsi l'angolo visuale della superficie oj rispetto ài polo, ammettendo 

 che a ciascun elemento cZw corrisponda un angolo visuale positivo o 

 negativo secondo che l'elemento rivolga al polo la faccia interna o 

 la faccia esterna. La funzione F è della stessa specie di quella della 

 formula (I), con questo, però, che il polo non può essere per essa 

 punto singolare (se interno ad w). Il caso piti semplice possibile, quello 

 di F= costante, fornisce il teorema 



y 



P 



j 0'^ 



0' 



che è appunto la notissima proposizione di Gauss cui abbiamo già fatto 

 allusione. Si può, da un certo punto di vista, considerare la for- 

 mola (I) come un caso particolare della (II): perchè, introducendo 

 sotto i due integrali di questa un fattore costante i^^ dove E è il 

 raggio vettore d'un punto fisso dello spazio t, e facendo poscia allon- 

 tanare indefinitamente il polo nella direzione opposta a quella delle 

 coordinate u (con che esso finisce certamente col diventare esterno 

 allo spazio t, che si suppone sempre finito), si ha 



R 



lim — = 1, lim^r^^u, 



r 



e si ricade appunto sulla formula (I). Reciprocamente, nel caso del 

 polo esterno (<j = 0), la formula (II) si può considerare come procedente 



dalla (I), perchè la si ottiene facendo nella (l„) G — — ed osservando 



r 



