20 E. BELTRAMr, INTORNO AD ALCUNE PROPOSIZIONI DI CLAUSIUS, ECC. 



essere 



talchò 



Finalmente, si possono anche considerare le formule (I), (L), (II) come 

 casi particolari del teorema di Green; ma, dal punto di vista didattico, 

 ciò non mi parrebbe opportuno, perchè quelle formule non sono che l'im- 

 mediata traduzione analitica di due semplicissimi processi d'integra- 

 zione geometrica, e per ciò solo meritano d'essere considerate come 

 fondamentali; inoltre essa accennano all'esistenza d' una serie inde- 

 finita di formule analoghe, corrispondenti alle infinite maniere di de- 

 comporre un volume in elementi di second' ordine (*). 



Dalla formula (II) si ottiene la trasformazione di F e di ^ in in- 



tegrali di superficie ponendo rispettivamente 



1 7)r 



ed osservando che ^-— non è funzione di r. Essendo in ambidue i 

 casi Fq = 0, si ottiene 



vale a dire si trovano le espressioni (1) e (6). E poiché Clausius si 



(*) Si possono trovare le formule generali cui alludo nel § 4 della mia Me 

 moria Sulla teorica generale dei ^parametri differenziali (Bologna, 1869), 



Rispetto alle due maniere qui considerate, osserverò ancora che se un 

 volume viene decomposto in elementi di second' ordine, prima cilindrici 

 paralleli ad una retta L, poi conici col vertice comune iu un punto 0, 

 soli elementi di prim' ordine, suscettibili d'essere formati tanto cogli eie 

 menti cilindrici quanto coi conici, souo i diedri infinitesimi in cui il vo 

 lume è decomposto dai piani condotti pel punto parallelamente alla 

 retta L. Il passaggio geometrico da un' integrazione cilindrica ad una 

 conica non può farsi che mediante la considerazione di questi diedri. La 

 dimostrazione che Clausius dà dell'equivalenza delle espressioni (2) e (6) 

 posa (implicitamente) sovr'eesa. 



