22 E. BELTRAMI, INTORNO AD ALCUNE PROPOSIZIONI DI CLaUSIUS, ECC. 

 Di qui 



du^ J d^' d^ J, d^ dn' 



e quindi- 



i\ 



e finalmente, applicando la formula (II) ove si faccia F = k', F^ —k 



Tale è la dimostrazione di Gauss. 



Ma questa dimostrazione suppone che la funzione k', esprimente 

 la densità, sia dotata delle proprietà che permettono la diretta appli- 

 cazione delle formule (I) e (II), ed in particolare ch'essa ammetta la 

 derivazione. Il gran pregio della dimostrazione data da Clausius nei 

 §§ 18, 19, 21 (e da lui fatta conoscere fino dal 1858) consiste appunto 

 in ciò, che non vi si esige la derivazione diretta della funzione k', 

 entrando in vece di questa nel calcolo l'integrale 



H=jn. 



esteso lungo la retta che congiunge i punti {od, y, z) ed (^', y' , s'), 

 talché, per essere sempre r la distanza assoluta dei due punti, quando 

 si tien fìsso il primo punto si ha 



o rr 



■^ — =r^' (valore della densità nel secondo) 

 e, quando si tien fisso il secondo punto, si ha 



-^ — :=ik (valore della densità nel primo). 

 Considerando dunque come fisso il punto [oc, ?/, z), si può scrivere 



du j ^r ^li 



ossia 



gii J gr >» 



perchè— non dipende da r. Dalla fòrmula (II) si ottiene quindi 



