24 E. BELTRAMI, INTORNO AU ALCUNE PROPOSIZIONI DI CLAUSIUS, ECC. 



dove o' è l'angolo visuale della superficie oj ris[)etto al T^vmio [x' , y' , z') . 

 Ora ogni punto {oo\ y\ z') del corpo che sia esterno ad oo, o che sia 

 situato nella stessa superficie w, non contribuisce punto all'integrale 

 del secondo membro, perchè nel primo caso si ha o^^O, e nel secondo 

 caso, in cui a' ha un valor finito, i punti non formano uno spazio a tre 

 dimensioni. Rimangono dunque i soli punti (x', y', z') interni ad o), 

 pei quali si ha ff'=47:, ed i corrispondenti elementi dT' si possono 

 designare con dx, perchè comuni allo spazio t, talché si può scrivere 



0, 



dove h è i\ valore di k' in dz, ed è quindi zero se l'elemento d'z non 

 appartiene allo spazio occupato dal corpo. Dovendo quest'equazione sus- 

 sistere qualunque sia la porzione dello spazio a cui s'estende l' inte- 

 grale, dev'essere necessariamente nullo il suo elemento, cioè deve 

 essere AgF= — A-Tzsk. 



Veniamo alla funzione potenziale d' un'area piana omogenea, cui 

 Clatjsius dedica i §§ 28-31. 



Alle due formule (I) e (II) corrispondono nel piano le formule se- 

 guenti : 



J d-^ J d>^ J dy } d^^ 



dove: u è il raggio vettore condotto da un polo fisso; dio è un ele- 

 mento dell'area co che si considera ; ds è un elemento del contorno 5 

 di quest'area; n è la direzione della normale esterna all'elemento ds ; 

 è l'angolo visuale del contorno rispetto al polo , inteso in senso 

 analogo al <y delle superficie; e finalmente F è una funzione mono- 

 droma , continua, finita e dotata di derivate primo in tutti i punti 

 dell'area, funzione che può perdere queste proprietà in punti isolati, 

 a distanza finita dal contorno s (e dal polo quando questo è interno 

 all'area), purché per ciascun punto singolare esista un numero posi- 

 tivo e finito \t., tale che la funzione 



ic^-t'F 

 sia monodroma, continua e finita in prossimità al punto e nel punto 

 stesso (u essendo in questo caso la distanza dal punto singolare al 

 punto cui si riferisce il valore di F) (*). 



(*) Quando il primo membro della formula (IV), e dell'analoga for- 

 mula (II), si mantiene continuo nel passaggio del polo dall'una all'altra 

 parte della linea s, o della Buperficie w, la discontinuità risultante dall'ul- 



(III) 



