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j dA 0»' I 



E. BELTnAMI, INTORNO AD ALCUNR PROPOSIZIONI DI CLAUSIUS, ECC. 25 



Ciò premosso, consideriamo hi funzione potoir/.ialo sul punto (x,y, z) 

 dell'area omogenea i>ì' situata nel piano xy, cioò la funzione 



r (] to' 



^^— * ^' I ~7~ ' *' = \^^^ - ^^'^^ + ^y — y')' + s* 



dove h è la densità costante ed x', y' sono le coordinate d'un punto 

 dell'elemento dui'. Se per F &\ prende la funzione 



F=thr= ths/u^-b z*, u = ^/( f — x'f + (t/ — y']* 

 si trova, applicando la formula (IV), col polo nel punto {x', j/'), 



Di qui, supponendo che il piede (ce, y) della perpendicolare condotta 

 dal punto (x, t/, z) al piano dell'area sia a distanza finita dal contorno, 

 si trae 



J dA d'^' I I 



dy 



Gli integrali contenuti nei secondi membri sono riducibili a forma 

 molto semplice. Clausius effettua questa riduzione nel § 29, per 

 mezzo d'un' equazione ch'egli stabilisce molto ingegnosamente, con 

 considerazioni geometriche, nella seconda Appendice del suo libro 

 (pag. 175-178). Noi mostreremo come la stessa riduzione possa ot- 

 tenersi analiticamente. Ciò può farsi in diversi modi : sceglieremo il 

 seguente, fondato sulla teoria delle variabili complesse. 

 Posto 



oc -\-iy -\, X —iy =7), 

 x'-\~iy'=V, x' — iy'-r/, 

 dove }■ .— v/— 1 , si ha 



dx dy )\ r Qn' ^n' v] — r, / 



e^osu _ 1 / aii\_ 1 1 ,d_ 



($-;') (Vi -•/)')?''' ' 



timo termine del secondo membro si riporta tutta sull' integrale di contorno, 

 di superficie Ciò si connette colla teoria dei potenziali di doppio strato, 

 dei quali s' è occupato a fondo C. NbUMANS nelle sue recenti ed impor- 

 tanlissime Untersuchuncjen ueber das Logaritmische und Newton'ache Po» 

 tential. Leipzig, 1877, Teubner. 



