26 E. BELTRAMI, INTORNO AD ALCUNE PROPOSIZIONI DI CLAUSIUS, ECC. 



si può scrivere più brevemente così : 



d^ oy j dn'\f\ —7)7 

 Ora, supponendo che V arco s' cresca nella direzione che ha con 

 quella di n' la stessa relazione dell'asse positivo delle y coll'asse po- 

 sitivo delle a?, si ha 



(8) 



[9) 



e poiché il secondo integrale è nullo, per essere preso lungo un con- 

 torno chiuso, rimane un'equazione complessa donde si ricavano le 

 due equazioni reali 



dx J dn' r ' dV ) d"^ ^ 



che danno le espressioni, equivalenti alle (7), cui volevamo pervenire. 

 Eguagliando queste espressioni (10) alle corrispondenti (7), da cui 

 vennero dedotte, si ottengono due equazioni, valide per ogni contorno 

 chiuso, la prima delle quali è la seguente 



ni|f:+fp.^)U-=o, ,11, 



Hr- d"- dA a« /) 



ed è appunto quella che Clausius dimostra direttamente riducendo il 

 suo primo membro a coincidere colla parte reale dell'ultimo termine 

 (identicamente nullo) dell'equazione (9). 



All'equazione (9) si potrebbe, in viriti della prima equazione (8), 

 surrogare lu seguente 



— dy'-\- irla?' 

 r 



dV -d^' , Cdl'ds' ^ I 

 d^ dy- j ds' »' j 



