200 E. BELTRAMI, INTORNO AD UN CASO DI MOTO A DUE COORDINATE. 



coordinate, in un problema del quale nel § 31 delle citate Ricerche 

 è considerato il caso relativo ad un velo fluido piano, in cui si muova 

 un disco ellittico o circolare. Credo utile di qui esporre brevemente 

 un altro esempio consimile di moto a due coordinate, quello cioè d'un 

 velo fluido ricoprente la superfìcie d'una sfera, obbligato al moto da 

 una calotta sferica e rigida, scorrente sulla sfera stessa. Questo caso 

 di moto presenta alcune discrepanze in confronto di quello relativo 

 al velo piano ed al disco circolare, discrepanze che risultano prin- 

 cipalmente dall'essere finita l'area occupata dal fluido e dall'essere 

 impossibile ogni moto di semplice traslazione della calotta. 



Per semplicità, giova supporre = 1 il raggio della sfera, conside- 

 rando invece del moto vero la projezione centrale del moto stesso 

 sopra una superficie sferica di raggio = 1 concentrica alla data. As- 

 sunto in questa superfìcie un punto fisso P (per ora arbitrario) come 

 polo, chiamiamo p la distanza sferica di un punto qualunque della 

 superfìcie da questo polo e la longitudine del punto stesso contata 

 da un meridiano fìsso. Ammessa l'esistenza d'un potenziale di moto 

 U, l'equazione di continuità è data, rispetto alla superfìcie sferica 

 ed alle coordinate in essa scelte, da 



Se in quest'equazione si pone 



U=RQ, 

 dove R sia funzione della sola p e della sola G, si ottiene 

 seno d IclR \ 1 d}Q 



equazione che, designando con n^ una costante arbitraria, si spezza 

 nelle due equazioni seguenti: 



dldR \ ,„ d^Q 



Queste sono immediatamente integrabili, e danno: 

 per n = 



Ì2 = ^logtg| + 5, 



per n diverso da 



= aO + ò; 



iJ=^(tg|)'+B(cotl)" 



= rtcosnO + ^'SennO, 



