E. BELTRAMI, INTORNO AD UN CASO DI MOTO A DUE COORDINATE. 203 



necessariamente tutti i termini che contengono 

 tg|-, logtg^, 0, 

 talché U non può essere che della forma 



£/■ = 24 <^ot^ I («" cos n 0+ hn sen n 6) , 



donde 



ai 



La condizione (3) relativa al contorno è dunque 



^- L_21>?fcot-^r(cf„cosnO + &HSenn0), 



^p senp 1 \ iJ; 



2»^(cot— j (a^cosn 



4- ^„ sen w 0) = — co sen Po sen a cos 



identità dalla quale risulta che tutte le quantità a, b sono nulle ad 

 eccezioae di a^, e che questa è determinata dall'equazione 



Oi cot-= — oj sen poSen a , 



donde 



a^rr: — 2ojsenpo(sen-J . 



La funzione ?7 che soddisfa a tutte le condizioni del problema è dun- 

 que la seguente 



£/ = -2cosenpo[3en^j cot|-cosO, (4) 



epperò questa funzione coincide necessariamente col cercato poten- 

 ziale di moto. Si vede che questo dipende unicamente, oltre che dal- 

 l'ampiezza della calotta, dalla velocità del centro di questa (=- 

 oiSenpo). 



Dalla trovata espressione di U, chiamando u la velocità assoluta 

 d'un punto (p,0) del fluido e u^, Ug le sue componenti nelle solite di- 

 rezioni, si deduce 



sen 



u =tosen Po I 



\ sen^ 



coso, U0=:wsenpo I senO, (5) 



u = ±fosen Po I 



_l_t<- 



sen^ 



P I "p 



