204 E. BELTRAMI; INTORNO AD UN CASO DI MOTO A DU& COORDINATE. 



dove nell'espressione di u vale il segno + o - secondo che la ve- 

 locità angolare oj è positiva o negativa. La velocità del fluido varia 

 dunque da punto a punto colle due leggi seguenti: 



1.° Lungo uno stesso parallelo è costante il valore assoluto della 

 velocità; esso è massimo ed = ± co sen p^ (velocità del centro della 

 calotta) lungo il lembo della calotta solida, ed è minimo ed = 



d= co sen Po sen |- nel centro della calotta fluida. In generale questa 



velocità assoluta varia in ragione inversa del quadrato della distanza 

 dal centro della calotta solida. 



2° Lungo uno stesso meridiano la direzione della velocità fa un 

 angolo costante col meridiano stesso, e propriamente un angolo che 

 è eguale alla longitudine del meridiano considerato. 

 L'integrale 



esteso a tutta la superfìcie 5 della calotta liquida, che ora suppo- 

 niamo ridotta al suo vero raggio, a, è 



(6) 



h 



2 



L'equazione difl*erenziale delle linee di moto 

 cZp senpt^O 



è immediatamente integrabile e dà 



cbt^sen 9 = Costante. 



Queste linee di moto non sono altro che circonferenze minori, tan- 

 genti nel polo al meridiano iniziale. La disposizione, facilissima ad 

 immaginarsi, di queste linee, dà un'idea chiarissima delle velocità 

 istantanee che nascono in seno al fluido per effetto d' uno spostamento 

 infinitesimo della calotta solida. 



Ma queste linee di moto non sono vere trajettorie delle molecole 

 fluide, perchè il moto non è permanente. Per ottenere le formolo 

 relative alle vere trajettorie bisognerebbe, con una trasformazione di 

 coordinate sferiche, rendere indipendente l'espressione di U dalla po- 

 sizione istantanea della calotta, e introdurre quelle funzioni del tempo 

 che definiscono la posizione variabile della calotta stessa. 



Invece di ciò fare, consideriamo il moto relativo del fluido rispetto 

 alla calotta, riguardata come immobile. Si ottiene questo moto re- 



