206 E. BELTRAMI, INTORNO AD UN CASO DI MOTO A DUE COORDINATE. 



Per meglio riconoscere la natura di queste curve introduciamo un 

 sistema d'assi rettangolari delle x, y, z diretti dal centro della sfera 



verso i punti di coordinate sferiche |p=— ,0=Oj, (p = r-, 9 = —) 



(p = 0), talché, chiamando a il raggio della sfera che si è projettata 

 su quella di raggio 1, si abbia 



a? = a sen p cos 

 y=a sen p sen 6 

 z = a cos p. 

 Da queste relazioni si trae 



cosp = — , sen6cotrr=-: — =—^ — , 



a Z 1— cosp a— z 



epperò l'equazione (8), ponendovi la costante del secondo memb 



ro 



sotto la forma —, diventa 

 a 



(acosa — 2)2/ = (a — 5) (e — ^cot Po) (8)' 



Quest'equazione rappresenta una superficie cilindrica di second' or- 

 dine a generatrici parallele all'asse delle x, cioè all'intersezione del- 

 l'equatore col primo meridiano, parallele quindi alla direzione della 

 velocità del centro della calotta solida. Questa superficie cilindrica 

 è iperbolica, ed ha i piani assintotici l'uno parallelo all'equatore, 

 l'altro normale all'asse di rotazione della calotta. Il primo piano as- 

 sintotico è fìsso e coincide col piano del cerchio-base della calotta. 



Le trajettorie relative sono dunque linee sferiche di quart' ordine. 

 Per 



e = a cos oc cot Po 

 l'equazione (8)' diventa 



(acosoc— ^) (t/tgpo-i-^ — a) = 

 e si decompone nelle due 



;s: = acos«, 

 2/tgpo+^ = a, 



che rappresentano rispettivamente il piano del cerchio-base della ca- 

 lotta, ed il piano condotto pel polo normalmente all'asse di rota- 

 zione. 

 Quando 



a 



