E, BELTRAMI, INTORNO AD UN CASO DI MOTO A DUE COORDINATE 209 



porremo costante). Il procedimento ò lo stesso anche nel caso che il 

 detto punto percorra una circonferenza minore, salvo la maggiore 

 complicazione del risultato. Se dall'equazione 



sen^^; — sen^ — 

 dp 2 2^ 



2 

 si elimina 6 mediante l'ecLuazione delle trajettorie relative 



si trova 



(sen*-i — sen'-J cot^sen6=~, 

 \ <> 21 2 2 a 



senpsen^dp 



^ 2 ^ oidt 



^ 



■ — ±' 



4a2cos'|-|sen2|— sen^^r-c^sen^l- ^ 



Il primo membro è riducibile in molti modi ad un differenziale ellit- 

 tico. Per esempio, ponendo 



dove restano a determinarsi, per ciascun caso particolare, il segno 

 ed i limiti dell'integrale. 



Se invece di considerare come solida la calotta compresa fra p=0 

 e p = a e come fluida la rimanente, si facesse la supposizione inversa, 

 si troverebbe, come potenziale di moto del fluido occupante la prima 

 calotta, 



r= 2 (0 sen p cos^ -^ *© 1" cos ; 

 2 2 



e l'integrale di — u*, esteso a tutta la calotta medesima, sarebbe an- 

 cora lo stesso di prima. I due moti del fluido potrebbero coesistere, 

 qualora la superfìcie sferica fosse tutta ricoperta d'un fluido, ob- 

 bligato a spostarsi da un anello circolare rigido, di raggio sferico oc, 

 Scorrente sulla superficie stessa. 



