392 S. PINCHERLE, RELAZIONI FRA I COEFFICIENTI E LE RADICI, ECC. 



Nella sua recente Memoria sulle funzioni monolvomQ (Abhandlungen 

 der Akad. M'issenschaften, Berlin, 1877) il signor Weierstrass ha 

 dimostrato che qualunque funzione intera avente un numero finito od 

 infinito di posti degli zeri si può scomporre in prodotto di funzioni 

 della stessa specie avente ciascuna un solo posto-zero tutt'al più ; e 

 questa scomposizione essendo analoga a quella ordinaria di una fun- 

 zione intera razionale nei suoi fattori lineari, si presenta la domanda 

 se, e con quali restrizioni, si conservino per le funzioni intere tra- 

 scendenti le relazioni che passano fra i coefiicienti e le radici delle 

 razionali: e nella presente Nota si è tentato di rispondere a questa 

 domanda, seguendo il metodo tenuto nella Memoria citata. 



1. Sia f{x) una funzione trascendente intera cioè espressa per tutti 

 i valori finiti di ce dalla serie sempre convergente 



0^ + OiCc + a^oc^ -h . . . . 



Il coefficiente a^ si può supporre differente da zero; avendosi cioè 

 una funzione f{x) rappresentata da una serie in cui fosse 



le considerazioni seguenti si applicherebbero alla funzione 



Indichiamo ora con 



a^ ag a,^ (1) 



le radici della funzione f{v\ e su queste quantità facciamo le seguenti 

 ipotesi: 



a) Le quantità a^ siano tutte difibrenti da zero per quanto si 

 è detto, e siano in numero infinito (W caso di un numero finito di ra- 

 dici non presenterebbe diftìcoltà). 



h) Gli indici siano assegnati in guisa che 



mod a^< mod a,j^j 

 e 



lim -L = 0; 



non si esclude che due o piU delle a siano fra loro eguali. 



c) Porremo dapprima per le a un'altra restrizione che verrà tolta 

 in seguito: supporremo cioè che esista un numero intero a tale che 

 la serie 



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