S PliVCHKRLE, RELAZIONI FRA I COEFTlCIElVTI E LE RADICI, ECC. 393 



sia convergente incondizionutamento; ò chiaro che tutte lo serie 



per k> [A + l saranno parimente convergenti. 



Questa condizione che si trova soddisfatta in un numero grandis- 

 simo di casi è, come vedremo, necessaria perchè le relazioni fra i 

 coefficienti e le radici della funzione trascendente riescano analoghe 

 a quelle delle funzioni razionali. 



Sotto tali ipotesi la funzione f{x) scomposta in fattori avrà neces- 

 sariamente la forma 



/•(a;) = <f(a;)e^(^) (2) 



dove F{x) è una funzione intera razionale o no, affatto arbitraria, e 

 <p(cc) indica il prodotto (v. Memoria citata). 



n = l\ «n/ 



Indicheremo con 



\ + c^x + c^x^-\- . . . , 



lo sviluppo in serie di cp(x) ed incomincieremo dal cercare le relazioiii 

 fra i coefficienti e-,- e le radici a„. 

 Se ^'(x) è la derivata di cp(a?), si ha immediatamente 



i^^ ì -lìI+S ^|. (3) 



\ «n 



La serie che comparisce nel secondo membro di questa uguaglianza 

 è convergente entro un cerchio descritto dall'origine, come centro, con 

 un raggio inferiore di una quantità finita a mod^f.^'^ infatti il termino 

 generale di questa serie è in valore assoluto 



mod 



X' 



^('"«^^$^---)l = "°"("»^^''l-;^) 



Ora se x si prende nell'interno di quel cerchio le differenze 1 sa- 



ranno tutte differenti da zero ed avranno un minimo di cui il valore 

 assoluto sarà fluito e differente da zero e si potrà denotare con w; si 

 avrà allora che la serie dei moduli della (3) sarà 



