F. ASCHIERI, GENERAZIONI, DI UN COMPLESSO PARTIC DI 2' GRADO, ECC. 613 



Dalla stessa definizione risulta ancora: 



« Se - ha una conica direttrice C(-) che tagli a' nei punti E ed F, 

 allora i loro piani focali s, e 9, presentano la stessa singolarità del 

 piano a, cioè tutti i raggi delle stelle E ed F, se tutto le rette dei 

 piani e e (p sono da considerarsi come assi, e propriamente i raggi 

 delle stelle E ed 2?' sono tutti assi rispettivamente dei piani s e cp » 

 e le rette di e, e <p sono assi di piani passanti rispettivamente per 

 E ed F. Così la serie degli assi relativi alla totalità dei piani di 

 (5,(7) contiene in tal caso le tre congruenze lineari singolari (A. tx), 

 {E s) , [F cf) costiuite rispettivamente dai raggi di una stella e dalle 

 rette del piano focale del suo centro. » 



Diremo piani principali i piani singolari come a,£,cp, e punti 

 principali i loro fuochi A , E, F. 



Non vi possono poi essere altri piani principali, poiché se un piano 

 deve essere principale, il suo fuoco deve necessariamente coincidere 

 col polo della sua traccia su a, nel sistema 2, e quindi quel piano 

 deve passare per A ed essere tangente alla conica direttrice di 2: 

 si può quindi dire : 



Vi sarà il solo piano pnncipaU a ed il solo punto principale A^ 

 fuoco di a, quando - non ha conica direttrice, oppure avendola essa 

 non taglia la retta fondamentale a' , e vi saranno tre piani principali 

 e tre punti principali, che sono rispettivamente i fuochi dei tre piani, 

 quando la conica direttrice di 2 taglia la retta fondamentale a'. 



Dalla definizione data di un asse, risulta ancora che se un piano 

 contiene il relativo asse, allora 1' asse stesso è una retta essenzial- 

 mente di 0, ed il piano è tangente -alla conica direttrice di ]S. 



In ogni caso, se - abbia una conica direttrice Ci~) risulta subito: 



La totalità ^(~) degli assi, che soìio situati nei relativi piani è data 

 dall'insieme dei fasci di che corrispondono ai punti della conica 

 direttrice C(2). 



Tal serie A(2) di rette di costituisce perciò una congruenza di 

 2° grado. 



2. Ogni asse che sia una retta di , o che sia situato in un 

 piano principale, o passi per un punto principale, ha per conjugato 

 rispetto a 0, [0 ciò che è lo stesso, per polare nel sistema nullo (0)] 

 pure un asse. Se poi consideriamo un asse relativo ad un piano qua- 

 lunque r., sia G il polo in S della retta ■ir a, e P il fuoco di tt, sarà G P 

 l'asse di t:. 11 punto G,, ove r. incontra a' , è il polo di AG; la 

 retta G' P' conjugata di G P, incontrerà la retta A G in punto un G' 

 che ò il polo di G G^. La stessa retta incontrerà la retta G^ P in 

 un punto P' , quindi G' P' è l'asse del piano P P' G = v:' focale del 

 punto P' : dunque possiamo dire in generale: 



